Mathématiques I 2003 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2003
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 386
• Langue: Français

Extrait

ESSEC 2003, Math 1, option S.

Danstoutleprobl`eme,onde´signeparnun entier naturel et par : •R n [x´freeiruedrge´niaou´egal`]’lecevseapldieorcttincfoesylop-snoedsemoˆnn. n n •C(Reslcsaseedeellceveirote’l)capsioctr´nsdeelonsfCsurR. 0 En particulier,C(Rtnoceunirussctonnsioeer´esllpse’ltse)sfdeelritoecevacR. 0 A toute fonctionfraetantna`appC(Ronnoitacee´tcisoasonlipp’ael,)φfesurefini´dRpar : Z x φf(x) =f(t) dt x−1 0 Onde´finitainsiunendomorphismeφde l’espace vectorielC(R) dont on se propose dans la suite d’´etudierquelquesproprie´t´esautraversdepartiesquisontlargementind´ependantes.

PartieI:G´ene´ralite´s.

1)´eetesdaDqettecsnuestion,on´etudiqeeuqleupsorrp´iφfen fonction de celles def. a)nocnoitcnofetuotenutiagil’le´vurePorpournte,uivat´esfmbnouttoeert´reelx: Z 1 φf(x) =f(x+u−1) du 0 b)On suppose la fonctionfpaire (resp. impaire). Exprimerφf(−x) en fonction deφf(x+ 1). c)On suppose la fonctionfrc-celecasdeorceassi)etntsE.ssoiteanes(rd´p.φf? d)On suppose la fonctionfconvexe (resp. concave). Est-ce le cas deφf? e)On suppose que la fonctionfa une limiteLen±∞. Est-ce le cas deφf? 2)´pehtiusdmieeilns’teinodno,moonrecttqeeuudtiaapDsrnφsurR n [x]. a)Montrer queR n [x] est stable parφ. On note alorsφ n l’endomorphisme induit parφsur R n [x]. b)rtcideeamalrenimrete´Dφ n dans la base canonique deR n [x]. c)evtcseterppouesreresd´Dreteenimesrllevaspurprroφ n . 3)e´tiedjeurivctenestc´eastDlatseuqette´no,noi’ieldituvitiecnjφ. 0 1 a)Montrer, pour toute fonctionfdeC(R), queφfest de classeCire´dasresice´rpetr.Pouv´ee   k j quelles valeurs du nombre entierjl’espace vectorielφ C(R) est-ilinclus dansC(R) ? b)Montrer que Ker(φctonsfdep´1-nsioe)e´mroftsralet´egesurnulliduqreoi’dniseteode.´eriunep c)L’endomorphismeφest-il surjectif? injectif? 4)derospesprtecsnaDon,on´ettequestilee´emtndueiel´sφ. a)orrpuOenprenuerlavesnoce`diλ, de l’endomorphismeφdtnemertbmonnutileer´re,auλ 0 tel qu’il existe une fonction non nullefnanea`tappartC(Ranifit)re´vφf=λf. Montrer que toute fonction propref´icossarperproaleuunevee`aλ6-ta`’cse=,0teir-douet ∞ fonction continue non nulleftelle queφf=λfseasrimee,ts´ncealcedtneessCsurR. b)esnˆomcnitseofopylno-selQutlonsslefqui sont fonctions propres deφ? c)ntMor,reurpoottuonbmer´reelλ >0, qu’il existe une et une seule fonction exponentiellef ax d´efinieparf(x() = ea∈R) telle queφf=λf. End´eduirequetoutnombrere´elλ >0 est valeur propre deφ. d)r´eeltuonbmer,ropruotertnoMλ >,quelaseee1bnoi´nrofelutcnofappartenant au sous- espacepropreassocie´`aλest la fonction nulle. Danslasuiteduproble`me,on´etudielesous-espacepropreE 1 (φ)associ´e`lavalaueprorrpe 1,c’est-`a-direl’ensembledesfonctionscontinuesfnatrefiiv´φf(x) =f(x) pour tout nombre r´eelx, ou : Z x f(t) dt=f(x) x−1

Partie II: Existence d’une fonction non constante dansE 1 (φ) 1)Onontiofcneraldie`ocsnf 0 niefie[ed0d´,1] dansRparf 0 (0) =f 0 (1) = 0 et pour 0< x <1 par : 1 1 f 0 (x) = (x−) exp() 2x(x−1) a)errpruebtntae´eseivedrentMocolauerqf 0 apourdmettneceder´mysirteepelntoi(1/2,0). Z 1 1 b)Montrer quef 0 est de classeCsur [0,1] et quef 0 (t) dt= 0. 0 2)rolarapsce´rerrue`ncaraprdtieOnd´efinitf 0 une suite de fonctions (f n )d´0[ressuefini,1] par : Z x f n+1 (x) =f n (1) exp(x)−exp(x)f n (t) exp(−t) dt 0 10 a)Montrer quef n+1 est de classeCsur [0,te]1re´vifie(f n+1 ) =f n+1 −f n :qeeuudridne´E. Z 1   f n+1 (1)−f n+1 (0) =f n+1 (t)−f n (t) dt 0 b)Montrer quef n+1 (0) =f n (.E1)dne´udriqeeu: Z 1 f n (1) =f n (t) dt 0 Z Z x1 c)Ebromtnouel´eernerilbattruop,nfixde [0,1], quef n+1 (x) =f n+1 (t) dt+f n (t) dt. 0x d)On notefel[nietvrlaurchaqued´efiniesacilnoitlppa’n, n1+`u[on∈Nparf(x) =f n (x−n). Ainsi, la fonctionfnoiiedtncee´sneuellr[rsaveriluas´efinestdn, n+ 1[,et donc sur [0,+∞[. Z x Montrer quefest continue sur [0,+∞[te´vrefiief(x) =f(t) dttruontuorbmoe´reelp x−1 x>1. 3)On prolonge la fonctionfd´e[0ssruseusicd-nfiei,+∞ctonefunen[[ruseinfie´dnoi−1,+∞[. 0 A cet effet, on posef(x) =f(x+ 1)−f(xpour+ 1)−16x <0. Z x Montrer quefest continue sur [−1,+∞erv´et[eifif(x) =f(t) dtpour tout nombre x−1 r´eelx>0. Enre´ite´rantcemˆemeproc´ede´sur[−2,+∞[,[−3,+∞[, etc, on obtient une fonctionf continue surRtnafiire´vφf(x) =f(xl´reebmertuonurto)pox(on ne demande pas d’expliciter ce raisonnement). Partie III:Limite en+∞d’une fonction deE 1 (φ) Ond´esignetoujoursparfune application deE 1 (φ) et parnun nombre entier naturel. 1)seuqettecsnadeids(teuissleonti´etuOnM n ) et (m n ) des maxima et minima defsur [n, n+ 1]. a)Justifier l’existence du maximumM n de la fonctionfsur l’intervalle [n, npuis celle+ 1], d’unnombrere´elx n netr`tnaa[appan, ntel que+ 1]f(x n ) =M n . b)On supposen>1. Montrer que : 0 •f(x n ) = 0 sin < x n < n+ 1,et comparer alorsf(x n −a1`)f(x n ). •fest constante sur [n, nsi+ 1]x n =n+ 1. End´eduiredanstouslescasqueM n−1 >M n . c)muOdne´nfiemmˆdeitiminemelm n de la fonctionfsur l’intervalle [n, n+ 1]. Etablir la monotonie de la suite (m n ´edutend)eecnegrevnocaleris(teuissdeM n ) et (m n ). 2)e´utiddenOquestionanscettedecnenu’xe’letsintvelluemili´eteedefen +∞et on pose Z 1 L= 2tf(t) dt 0 2