Mathématiques I 2003 Classe Prepa HEC (STG) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2003
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 155
• Langue: Français

Extrait

´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

OPTION TECHNOLOGIQUE

Mardi13mai2003,de8h`a12h.

Lapre´sentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesre´sultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautorise´e.

EXERCICE √ 3 , Onconsid`ereuntriangle´equilate´ralA 0 B 0 C 0 euguonelt´ˆoecrdria’d,1eiepentennoir;ond´esinged 4 respectivement parA 1 , B 1 , C 1 s[mleeiliedxuoˆcsse´tB 0 C 0 ] , [A 0 C 0 ], [A 0 B 0 rueire´tni’lcnaltenbpeineton] du triangleA 1 B 1 C 1 rsdnucrtseusnoahcrorncoienngiaseleeuneustiO.enefftcop´eratielamˆemeA 0 C 1 B 1 , C 1 B 0 A 1 ,B 1 A 1 C 0 et ainsi de suite pour obtenir les figures suivantes :

Pour tout entier natureln, soitt n (latnavasrionerocnesee´uqlitae´arxuenombredetriangllneemi`)-+1 ope´ration,c n rscˆeleutaldretoonbmele´to,ss n le nombre total de leurs sommets eta n la longueur de leur 1 cˆot´e.Onadonc:t 0 = 1, c 0 = 3, s 0 = 3, a 0 = 1, t 1 = 3, c 1 = 9, s 1 = 6, a 1 = . 2 1.Expimera n en fonction den, pour tout entier natureln.

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2.Soitnun entier natureln. Exprimer les nombrest n+1 , c n+1 , s n+1 `laa’didesenombrest n , c n , s n et ende´duirel’e´galit´ematricielle:     t n+1 t n 3 0 0     c n+1 = M c n ou`Mest la matrice 0 3 0 s n+1 s n 0 1 1 2 3 3.a) CalculerMetM. b)Montrerqu’ilexisteunesuiteder´eels(u n ) n>1 ve´irafieluratrnulnnnotruop,tneitnetuon:   n 3 00 n n   Met3 0= 0u n+1 = 3u n + 1 0u n 1 c) Exprimer,pour tout entier naturel non nuln,u n uniquement en fonction den. 4.seluatstedaluqseUtiliserlesr´ruoptnomqrerp,euonti´epredc´teenruleouteourtrnatntien, on a :  n t n = 3   n+1 c n = 3  3  n s n = (1+ 3) 2 5.Pour tout entier naturelneparo,nd´esignb n lencbnaltnespaiee´`jert´xdaueqs´lauiairtelgnbmoneder avant la (n1)-i+.noitare´poeme` a) Calculer,pour tout entier natureln,b n+1 −b n en fonction det n , puisb n+1 en fonction uniquement den. b)End´eduire,pourtoutentiernaturelne´:lati’´eg,l 1 +t n +b n −c n +s n = 2(relation d’Euler) 6.Pour tout entier natureln, on notep n edserte`mire´pserecoenesglanristtnalasavonrilasommed (n1+ationpe´teremeo)-i`S n epnijea`lbnaetnelasc.ced´urfa a) Exprimerp n en fonction den, pour tout entier naturelnelilatemiladeitsue,dte´etmrnire (p n ) n>0 . √    n 3 3 ´ b) Etablir,pour tout entier natureln´egal’:e´tilS n = 1−. 4 4 Ende´duirelalimitedelasuite(S n ) n>0 ?isevleibi-ti´rpltatlate´.Cer´esu c)Montrerqu’ilexisteunre´elDra,cciseisstomprmeneirtcere1ettnett2erv´anifiteuqe´rpno’l   D 1 pour tout entier natureln:t n = . a n La surface noire est connue sous le nom de Joint de Culasse de Sierpinsky;Dseat´esappel dimension fractale.

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` PROBLEME L’objetduprobl`emeestl’´etudedelarentabilit´edu«surbooking».enneuourpmpagneco´eriniea

PartieI:Expressiondel’esp´eranceduchiffred’affaire

Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Neriesup´tierunene,t`l2ae´agruuopmeteictrlseer´untn compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavendunspourlevol714quilielsta`ectnueor`au’sqbuccatuepujrillieNpassagers. Laprobabilit´epourqu’unacheteursepr´esente`al’embarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sinde´pendantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepre´sentepasa`l’embarquementestrembours´ea`80%,tandisqu’unacheteurquise pr´esentea`l’embarquementmaisn’obtientpasdeplace,levole´tantd´eja`complet,estrembourse´a`200%. SoitX´ealleabrivalatnangise´deriotad’achetelenombrelielstperudsu’bn`anteml’esr´taen,tnqrabemeu soitYesd´reoilentnaigbairavaltae´laelnbilsd’uepr´letser’donbmetrucaehuerqntmeismanesetnat’la`abme n’obtenant pas de place et soitGnetnatnomeltnangsi´eedirtoeal´ealavariablcentainesd’euros du chiffre d’affairedelacompagniesurlevolconsid´ere´. Onsupposecesvariablesale´atoiresde´finiessurlemˆemeespacedeprobabilite´(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deX.ecse´psrnonoenD?riansavaceeteran 2.p,resice´rPntme´eelt´ourtouωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. 3.:Juslr´’itefitie´gelaG= 0,2n+ 0,8X−2Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, queneinstauoe´ag`l´freeiruN. Quelle est la seule valeur possible pourYralecual?Cnaec´pre’lseolsrE(Gablevaridela)´ealoiatreG. Lacompagniecherchealors`a´evaluerlaprobabilit´eP([X>Nmonelrenerbdefin)a]mieretd´npermettant d’optimiser son chiffre d’affaire.

Partie II : Approximations dans des cas particuliers

Onreprend,danscettepartielesnotationsetlesd´efinitionsdelaPartie?? 1.On suppose, dans cette question, queptse´e0aag`l,red´efiniepar:5nscoonetlare`eidelbairaviotae´la 2X−n ∗ X= √ n ∗ a)Donnerl’esp´eranceetlavariancedeX. b)Justifierlese´galite´s:    1 2N−1−n ∗ P([X>N]) = 1−PX6N−= 1−PX6 √ 2 n x+ 1−2N c)Pourtoutre´elxga´ea1l`ieerouur´puso,pnso:ef(x) = √ ∙ x Montrer que la fonctionfest croissante. d)Onde´signeparΦlafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´ere´duite,onsupposequeN    6 7 este´gal`a320etondonne:Φ≈ − √ 0,Φ408 ; − √ ≈0,391 . 645 646 ∗ En admettant que l’on puisse approcher la loi deXee´ree´rtuq,etiudoinorlalecenrmalap peut-onende´duirepourP([X>320]) siniss45a6ui,p´eoul`ga´freeiruetsnine´puueirstserou e´gal`a646?

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