Mathématiques I 2004 Classe Prepa B/L HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2004
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 94
• Langue: Français

Extrait

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II BL

L’objetduprobl`emeestl’´etude,surunexemple,d’unparadoxeconcernantlestempsd’attentedecertaines configurations dans un jeu de✭pile ou face✮. Onconside`redoncunesuiteinfiniedelancersd’unepie`ce´equilibre´e,c’est-`a-direpourlaquelle,`achaque lancer, les apparitions de✭pile✮et de✭face✮sno´tqeabobpruis.le Onadmetquel’expe´rienceestmod´elis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnaro,dn´esignepR n l’´etnemene´v✭ernclaauıtaˆarppaelipgnedarn✮et parS n temenv´enl’´e✭face apparaˆıt au lancer de rangn✮

PartieI:Unr´esultatutile ∗ Onconside`reunevariableal´eatoireXΩr(de´nfieius,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :a n =P([X=n]). +∞ X n Ond´esigneparf0[eoidne´nfilfanotcntervalliesurl’i,1] par :∀x∈[0,1], f(x) =a n x. n=1 +∞ X 1.que la suite (a) Justifiera n ) n>1 ´reerbseisitslopnesuestuenomitedtoufslsnuerv´anifia n = 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrere´elx[0leaalrpvpetni’la`tnanetra,s´la],1erale´´nmrgeedetreei n a n xest convergente. 2.Dans cette question, on suppose que la fonctionfreillveavb´leeraupeositndt´1e;fiideno:c f(1)−f(x) 0 lim =f(1) 1−x x→1 x<1  ! +∞n−1 X X f(1)−f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,e:t´liga´el’1[=a n x. 1−x n=1 k=0 f(1)−f(x) b)End´eduirequelafonctionx7→est croissante sur [0,tuotru[1tellevqu’efiepo´eri 1−x f(1)−f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,etna0:sse´tvius´einliga1es[l6 6f(1). 1−x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelN0non nul, on a :6na n 6f(1). n=1 End´eduirequelase´riedetermege´n´eralna n est convergente.

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` d)Al’aidedesr´esultatsdesquestiona)etc),justifierpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,1[, +∞ X f(1)−f(x) 0 lesin´egalite´ssuivantes:06 6na n 6f(1)∙ 1−x n=1 e)Montrerquelavariableale´atoireXdautemar:´eepodnnnaec´preense 0 E(X) =f(1) 3.qusepoupns,oontiseuqettecsnaDtoirelbae´laelevaraaiXmetuneesad´toneere´pecnaE(X). f(1)−f(x) a) Justifierla croissance de la fonctionx7→etmorqu’ntre´vreleeloprufii,euttoeer´lx 1−x f(1)−f(x) de l’intervalle [0,doublein´egalit´seiuavtn:e01al,[6 6E(X). 1−x 0 b)Ende´duirequelafonctionfe´irsedt’elletqueen1vabl:e´veefiirf(1) =E(X). 4. Casparticulier :on suppose, dans cette question, quepavll]e0lei’tnreunr´eeldest,1[ et queXsuit laloige´ome´triquedeparam`etrep. a)Donner,pourtoutre´elxde l’intervalle [0,1], une expression def(x) en fonction dexne compor- tantpasdesommedese´rie. 0 b) Montrerquef,pr´een1erecissedtavlbe´irfeleda´espncraalavilns’eelrdeuterte)1(iarevuor variableale´atoireX. PartieII:Loidutempsd’attentedelapremi`ereconfiguration✭pile, pile, face✮ SoitYe´de´ce´edlavotri´laelbaeraaie´dengisltnanareulgdcean`urourpoalrpme`irefeioaspparaˆıtunfacepr deuxpilessicetteconfigurationapparaıˆt,etprenantlavaleur0sicelle-cin’apparaıˆtjamais. Parexemple,silesre´sultatsdespremierslancerssont(face,face,pile,face,pile,face,pile,pile,face,...), lavariableal´eatoireYprend la valeur9. On posec 1 =c 2 = 0 et, pour tout entiern´egal`a3:us´preeiruuoc n =P([Y=n]). n [ Pour tout entierneotnpn´,souai3ele`rgoau´uerB n tnemene´ve´’lR n−2 ∩R n−1 ∩S n etU n l’netnemee´´vB i . i=3 1.On poseu 1 =u 2 = 0, et pour tout entiernerieurousup´:e´ag`l3au n =P(U n ). Montrer que la suite (u n ) n>1 est monotone et convergente. 2.pour tout entier naturela) Calculer,nuoe´ag`l3al,paorbabilit´edel’´eve´enemtnsuerp´urieB n . b)Ve´rifierque,pourtoutentiernaturelns´eupeuriu´roalegel´sa`,3enemvee´ntsB n , B n+1 etB n+2 sontdeuxa`deuxincompatibles. c)End´eduirelesvaleursdesnombresu 3 , u 4 etu 5 . 3.Soitnun entierna5.gal`ou´ere´prueius a)Justifierl’e´galite´dese´v´enementsU n ∩B n+1 etU n−2 ∩B n+1 obprilab´eit.ptece´rresiruel b)Exprimerl’´eve´nementU n+1 senfonctive´sednotnemene´U n etB n+1 nte:uivaedd´en;’le´iuer´tseagil 1 u n+1 =u n + (1−u n−2 ). 8 1 1 c)V´erifierlese´galite´ssuivantesu 3 =u 2 + (1−u 1 ) etu 4 =u 3 + (1−u 2 ). 8 8 d)De´terminerlalimitedelasuite(u n ) n>1 pial´ortraiblieb´e’´vueddeetldenmente´ene[Y= 0]. 4.Pour tout entier naturel non nuln, on pose :v n = 1−u n . a)Pr´eciserlesnombresv 1 , v 2 , v 3 , v 4 . b) Exprimer,pour tout entier naturelnsu,a3ag`luoe´eiru´prev n+1 en fonction dev n et dev n−2 . N X 7 1 c)End´eduirepourtoutentierNspue´:ier`aall’1,roeuegu´iusetnavage´´til−v N+3 =v k . 8 8 k=1 d)Montrerquelase´riedetermeg´ene´ralv n est convergente et calculer sa somme. 5.Soitgeth0e[llvaerd´efiniessurl’intelfsnotcoisn,1] par : +∞+∞ X X n n ∀x∈[0,1], g(x) =c n xeth(x) =v n x n=1n=1 2/4