Mathématiques I 2004 Classe Prepa HEC (S) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2004
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 97
• Langue: Français

Extrait

hec 2004, math 1, option scientifique

SUR LA TRANSMISSION DE MESSAGES Lebutdeceprobl`emeestdeconstruireunsyst`emepermettantdede´tecteretdecorriger automatiquement des erreurs apparues lors de la transmission de messages binaires. Dans tout le probl`eme,m,n,plsrennnos.ulengise´dtunarsientsedent

PartieI:L’ope´rationΔsurlespartiesd’unensemble Danscettepartieonconside`reunensembleE={e 1 , . . . , e n }ayantn´lmee´.nest Ladiffe´rencesyme´triquededeuxpartiesquelconquesAetBdeEee,not´AΔB, est l’ensemble dese´le´mentsdeEdmet.Ona’op´queloiΔnretasetapuiqutreal’apas`neetlau’ne`teinnaptr commutative et associative. On sait que pour toute partieAdeE: (G)AΔ∅=A, AΔA=∅ Pour toutes partiesAetBdeE, on posed(A, B) = Card(AΔB). 1)a)Pour une partieAdeErenimrete´d,d(A,∅) etd(A, E). b)Montrer que pour toutes partiesAetBdeE:d(A, B) =d(AΔB,∅). 2)trapenureieipttsrae’uoqnupteeneOsnr´AdeEpar le n-uplet(x 1 , . . . , x n )en posant : ∀i∈ {1, . . . , n}, x i = 1sie i arappneita`tAet0sinon. a)Les partiesA,B,AΔBe´at(rpantmevetiecspresee´tnese´rpertnx 1 , . . . , x n ),(y 1 , . . . , y n ) et (z 1 , . . . , z n ) , construire pour un entierix´fiantna`aeppraet{1, . . . , n}gunneestable`adeuxli, et deux colonnes donnant les valeurs dez i en fonction des valeurs dex i ety i . Comparerz i et|x i −y i |. b)Montrer que pour toutes partiesA,BetCdeE,d(A, C)6d(A, B) +d(B, C).

PartieII:Uneautrealg`ebrelin´eaire Onconside`rel’ensembleK={0,1}etM p,n (Kas`se´d)ne’lengidelembseceriatsmplignes etn colonnesdontlescoefficientsappartiennent`aK. ˙ Onde´finitsurKl’addition + et la multiplication.snaetusvilbseestaidedal’a`

˙ + 0 1.0 1 0 01 00 0 1 10 10 1 On remarque que la multiplication surK´eopesecssontirarsednoituq,slee´estlamultiplicanot associatives, commutatives et que la multiplication surK`artpoaprrpavetinoitidda’lirubidtsets surKr.rec;´et´esneespropridae´omtnostnap`s Onde´finite´galement ˙ 16i6p16i6p 1) la sommeA+Bde deux matricesA= (a i,j ) etB= (b i,j `a) appartenantM p,n (K) 16j6n16j6n ˙ 16i6p ˙ par :A+B= (c i,j u`o)c i,j =a i,j +b i,j 16j6n 2) le produitε.Ad’une matriceA= (a i,j ´emen´el)td’utneεtneretanppraantme`aecspveti 16i6p 16j6n   M p,n (K) etKpar :ε.A=ε.a i,j 16i6p 16j6n ˙ 16i6p16i6n 3) le produitA×Bde deux matricesA= (a i,j ) etB= (b i,j respective-) appartenant 16j6n16j6m ˙ 16i6p ˙ ˙ menta`M p,n (K) etM n,m (K) par :A×B= (c i,j o`u)c i,j =a i,1 .b 1,j +∙ ∙ ∙+a i,n .b n,j 16j6m Pour toute matriceAnetr`tnaapaapM p,n (K) et toute colonneXetanppraatna`M n,1 (K), le ˙ produitA×Xsniatsee´dneibinfi.i ˙ Onadmetquelaloi+ainsid´efiniesurM p,n (Kve,aiitsscoeva,atitnciomuomp´eoatere)nuts qu’elleadmetune´le´mentneutre`asavoirlamatricenulleayantplignes etncolonnes et dont

tousles´el´ementssontnuls;onnoteOcette matrice et cela quelles que soient les valeurs denet ˙ ˙ pOnadmet´.qteugelamene×ivutarepistdibtr.+aseppar`tro ˙ ˙ Dans leur copie les candidats pourront omettre les points sur les signes + et×. On remarque que pour toute matriceAaptrnena`taapM p,n (K) : 0 ˙ ˙ (G)A+O=A, A+A=O On appellecodetoute partie non videCdeM n,1 (K) telle que : 2 ˙ ∀(x, y)∈ C, x+y∈ C      1 1 0 1 1 1 0 0 1)rtauloceere`qselcoOnidnsonnesx 1 =  0  , x 2 =  1  , x 3 =  1  , x 4 =  0  ap-      1 0 1 0 0 0 0 0   4 ˙ ˙ ˙ partenanta`M 5,1 (K) puis l’ensembleC=ε 1 .x 1 +ε 2 .x 2 +ε 3 .x 3 +ε 4 .x 4 ,(ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 )∈K a)Montrer queCest un code. D´eterminertousles´ele´mentsdeCl’`addeeaix 1 , x 2 , x 4 .   2 ˙ b)Existe-t-il une famille (u 1 , u 2 ´eel’´)dedstnemCtelle queε 1 .u 1 +ε 2 .u 2 ,(ε 1 , ε 2 )∈Ksoit ´egal`aC? ˙ ˙ c)Montrer que :ε 1 .x 1 +ε 2 .x 2 +ε 4 .x 4 =O⇒ε 1 =ε 2 =ε 4 = 0. On dit qu’une famille(u 1 , . . . , u q )el´ed’´sdementM p,n (K)estK-libre lorsque : q ˙ ˙ ∀(ε , . . . , ε q )∈K, ε 1 .u 1 +∙ ∙ ∙+ε q .x q =O⇒ε 1 =. . .=ε q = 0 Dans le cas contraire, on dit que la famille(u 1 , . . . , u q )estKe´.e-il On dit qu’une famille(u 1 , . . . , u p )nodne`tuacndaoptereinnementsaptles´el´Cest uneK- base deClorsqu’elle est une familleKbil-epqurtouetrersloemtnlee´uo´txdeCil existe p ˙ ˙ ε 1 , . . . , ε p )a`tnanetrappaKtel quex=ε 1 .u 1 +∙ ∙ ∙+ε p .u p (Dans leur copie, les candidats pourront omettre la lettreKnadexprslesonsmessilue´napise K-libre,K- base, sans en oublier le sens particulier.) Dans la suite de cette partienrelsup´etiernatuenarnune´dsegia`lage´uorueir2.     x 1 y 1     2)Pour toutx= ety=   rtenappat`anaM n,1 (K),d(x, y) est le nombre d’entiers . . x n y n ina`taapparten{1, . . . , n}tels quex i 6=y i .   2 ˙ a)Montrer que :∀(x, y)∈ M n,1 (K), d(x, y) =d(x+y, O).   3 b)Montrer que :∀(x, y, z)∈ M n,1 (K), d(x, z)6d(x, y) +d(y, z). 3)SoitC`tano´rdeiuenodncu{O}. a)Montrer queCadmet uneKsavopr`estifiirjuenixe´osec,tsneO.esuopnab-erd´,aeracrrsion le cardinal maximum d’une familleKbreform´eed’´el´menestedil-C. b)•Montrer que si (u 1 , . . . , u p ) est uneK-base d’un codeCdentme´eelt´outsrola,Cseirdt´’ce ˙ ˙ mani`ereuniquesouslaformeε 1 .u 1 +∙ ∙ ∙+ε p .u p . •du´eelirndEdleceraidanCen fonction du cardinal d’une de sesK-bases. c)Montrer que toutes lesK-bases deCelˆmotnraidmecel.na d)On suppose quepest le cardinal d’uneK-base deCet que (v 1 , . . . , v p ) est une familleK-libre deC, montrer que (v 1 , . . . , v p ) est uneK-base deC. 4)On suppose dans cette question que 16p6net on noteI p `aceirtamalplignes etpcolonnes donttousles´ele´mentssontnulsexcepte´les´ele´mentsdiagonauxquisont´egaux`a1. Onsupposee´galementqueQnanetrappaecirtaemunstea`tM p,n (K) telle quepcolonnes deQtne´agelasxusopcolonnes distinctes deI p .   ˙ Ond´efinitl’ensembleC Q =x∈ M n,1 (K), Q×x=O. 2