Mathématiques I 2005 Classe Prepa HEC (ECS) ENSAE

Description

Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques I 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2005
• ENSAE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

¾¼¼ Å Ø ÅÈ ½
ÇÄ Æ ÌÁÇÆ Ä Ë ÈÇÆÌË Ì À ÍËË Ëº ÇÄ Ë Æ ÌÁÇÆ Ä Ë ËÍÈ ÊÁ ÍÊ Ë Ä³ ÊÇÆ ÍÌÁÉÍ Ì Ä³ ËÈ ¸ Ì ÀÆÁÉÍ Ë Î Æ Ë¸ Ë Ì Ä ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆ˸ Ë ÅÁÆ Ë È ÊÁ˸ Ë ÅÁÆ Ë Ë ÁÆ̹ ÌÁ ÆÆ ¸ Ë ÅÁÆ Ë Æ Æ ¸ Ë Ì Ä ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆË Ê Ì Æ º ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ´ Ð Ö ÌËÁµº ÇÆ ÇÍÊË ³ ÅÁËËÁÇÆ ¾¼¼

ijÙ×

ÈÊ ÍÎ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ÈÊ ÅÁ Ê ÈÊ ÍÎ Ð Ö ÅÈ ÙÖ Ð³ ÔÖ ÙÚ ¿ ÙÖ × ³ÓÖ Ò Ø ÙÖ ÓÙ Ð ÙÐ ØØ ×Ø ÒØ Ö Øº

ËÙ Ø Ñ × Ð ×ÔÓ× Ø ÓÒ × ÓÒ ÓÙÖ× Ý Ð ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð¸ ÆËÌÁŸ ÆË ´ËØ Ø ×Ø ÕÙ µ¸ ÁÆ̸ ÌÈ ¹ ÁÎȺ Ä× Ò Ø× ×ÓÒØ ÔÖ × Ñ ÒØ ÓÒÒ Ö ÓÒ ÔÔ Ö ÒØ ×ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ð ÓÔ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ½ ¹ Ð Ö ÅȺ Ø ÒÓÒ ÓÑÔÓÖØ Ô × Ø ÜØ º

Ë ¸ Ù ÓÙÖ× Ð³ ÔÖ ÙÚ ¸ ÙÒ Ò Ø Ö Ô Ö ÕÙ ÐÙ × Ñ Ð ØÖ ÙÒ ÖÖ ÙÖ ³ ÒÓÒ ¸ Ð Ð × Ò Ð ×ÙÖ × ÓÔ Ø ÔÓÙÖ×Ù Ø × ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ò ÜÔÐ ÕÙ ÒØ Ð × Ö ×ÓÒ× × Ò Ø Ø Ú × ÕÙ³ Ð ×Ø Ñ Ò ÔÖ Ò Ö º

Ú ÖØ ×× Ñ ÒØ ÒØ Ö Ð × ÑÔÖÓÔÖ Ñ ÒØ Ð³ ÒØ Ö Ð Ø Ô × ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ

Ò× ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÔÔ Ö ×× ÒØ ÒÓÑ Ö Ù× × ×º ÇÒ ÔÖ Ò Ö ×Ó Ò Ù×Ø Ö ×Ý×Ø Ñ Ø ÕÙ ¹ × ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÒ× Ö × Ñ Ñ ÐÓÖ×ÕÙ Ò³ ×Ø ÑÒ º
½

ÈÓÙÖ ÙÒ ×Ù Ø Ö Ð× z = (zn , n ≥ 1)¸ ÓÒ ÒÓØ lim inf n zn ´Ö ×Ô Ø Ú ¹ Ñ ÒØ lim supn zn µ¸ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÔÐÙ× Ö Ò µ × Ú Ð ÙÖ× zº ³ ÖÒ ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ³ÙÒ ×Ù Ø ÓÒÚ Ö × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × ÐÐ Ò³ Ñ Ø ÕÙ³ÙÒ × ÙÐ Ú Ð ÙÖ ³ ÖÒ Ò º ÈÓÙÖ ÙÒ ×Ù Ø ÓÒ Ø ÓÒ× Ú Ð ÙÖ× Ö ÐÐ × (fn (x), n ≥ 1)¸ ÓÒ ÒÓØ lim inf n fn Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ ØÓÙØ Ö Ð x ××Ó lim inf n fn (x)º
Áº Ð ÙÐ× ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ×

ÇÒ ÒÓØ H г Ò× Ñ Ð × ÓÒ Ø ÓÒ× f ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø Ú ×¸ ÓÒØ ÒÙ × ×ÙÖ IR¸ ÔÓÙÖ Ð ×ÕÙ ÐÐ × Ð Ü ×Ø ρ > 0 ´ Ô Ò ÒØ f µ Ø Ð ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ðx 1 1 0 < f (x) ≤ exp ( − ρ)x2 . ´ µ
ρ 2

ÇÒ ÒÓØ

H0 ¸

Ð ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð
+∞ −∞

H u=

× ÓÒ Ø ÓÒ× f Ø ÐÐ × ÕÙ
+∞ −∞

f (u)e−u

2 /2

e−u

2 /2

u

=

√

2π.

Ò× ØÓÙØ Ð Ö ×Ø ½µ ËÓ Ø Ff Ò ÔÖ

г ÒÓÒ ¸ f ×Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ
x −∞

H0 º

Ff (x) =

f (u)e−u
x

2 /2

u.

Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö
F1 (x) =

e−u

2 /2

u. IR IR

−∞

ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ

Ff

×Ø ÙÒ C 1 ¹

ÓÑÓÖÔ ×Ñ

×ÙÖ ]0,

√

2π [º

¾µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÓÒ Ø ÓÒ ϕ ØÓÙØ Ö Ð x¸ ÓÒ Ø
ϕ(x) −∞

Ò× IR Ø ÐÐ ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ
2 /2

f (u)e−u

2 /2

u=

x −∞

e−u

u.

¿µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ×ÙÖ IRº

ϕ

×Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ø ÕÙ

ϕ

×Ø ÙÒ C 1 ¹

ÓÑÓÖÔ ×Ñ

IR

¾

µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð x¸ Ð ÙÐ Ö Ø
1 ln(ϕ (x)) + ln(f (ϕ(x))) − ϕ(x)2 , 2 1 ln((ϕ−1 ) (x)) − ln(f (x)) − ϕ−1 (x)2 . 2 IR

µ ËÓ Ø h ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ô Ö ÑÓÖ ÙÜ IR Ò× ÓÒ Ø ÓÒ u → h(u)f (u) e−u2 /2 ×Ó Ø ÒØ Ö Ð ×ÙÖ IRº ÅÓÒØÖ Ö Ð³ ÒØ Ø ×Ù Ú ÒØ
+∞ −∞

Ø ÐÐ ÕÙ Ð

h(u)f (u)e−u

2 /2

u=

+∞ −∞

h(ϕ(u))e−u

2 /2

u.

µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð A > 0 Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð x ≥ A¸ ÓÒ Ø
x+1 x

ϕ2 (u)e−u

2 /2

u ≥ ϕ2 (x)e−(x+1)

2 /2

.

µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø ÙÒ Ö Ð B > 0 Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð |u| ≥ B ¸ ÓÒ Ø
|ϕ(u)| ≤ e(|u|+1)
2 /4

.

µ

Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú

Ð ÓÒ Ø ÓÒ
2 /2

u → uϕ(u) − u2 − ϕ (u) + 1 e−u

.

µ

Ð ÙÐ Ö Ð³ ÒØ Ö Ð ×Ù Ú ÒØ
I=
+∞ −∞

uϕ(u) − u2 − ϕ (u) + 1 e−u

2 /2

u.

ÁÁº

ÍÒ

Ò

ÐØ

ÒØ Ö ×× ÒØ

ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ð × ÒÓØ Ø ÓÒ× ×Ù Ú ÒØ ×
E(f ) = Φ(f ) =
+∞