Mathématiques I 2006 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2006
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 242
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS DADMISSION

Option scientique

MATHEMATIQUESI

Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.

Dans tout ce problème, la lettrendésigne un entier supérieur ou égal à2et on note[1; n]]lensemblef1;2; :::; ng. On rappelle quune permutation de[1; n]]est une bijection de[1; n]]Par ailleurs, on notesur lui-même. S n lensemble des permutations de[1; n]]; M n (R)lespace vectoriel des matrices carrées dordrenà coe¢ cients réels ; M p;q (R)lespace vectoriel des matrices àplignes,qcolonnes à coe¢ cients réels ; m i;j lélément générique dune matriceM, cest-à-dire le réel situé à lintersection de lai-ième ligne et de la j-ième colonne deM; t Mla transposée dune matriceM. Lorsqueappartient àS n , on appelle matrice de la permutationla matrice deM n (R)notéeP  dont le terme 2 génériquep i;j vérie :8(i; j)2[1; n]]; p i;j = 1si(i) =jetp i;j = 0sinon. 0 1 0 1 0 @ A Par exemple, pourn= 3et2G 3 dénie par(1) = 2; (2) = 3; (3) = 1,P  = 00 1. 1 0 0 On sintéresse dans un premier temps à lensembleE n des matricesMappartenant àM n (R)vériant la propriété n n X X suivante :8i2[1; n]];8j2[1; n]]; m i;k =m k;j . k=1k=1 Dans ce cas, leur valeur commune sera notée!(M).

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Partie I : Etude de lensembleE n . 0 1 1  1 B C . On noteJla matrice dordrendont tous les coe¢ cients sont égaux à1 . cest-à-dire égale à @ . . . A etUla 1  1 0 1 1 B C matrice colonne ànlignes égale à @ A . . 1 1. Généralités. (a) MontrerqueE n est un sous espace vectoriel deM n (R)et que lapplication!:E n !RM7!!(M) en est une forme linéaire. (b) LorsqueM2M n (R), établir que :M2E n si et seulement siUest vecteur propre commun àMet t Massocié à une même valeur propre. (c) VérierqueE n est stable pour le produit matriciel et préciser!(M N)en fonction de!(M)et!(N) lorsqueMetNappartiennent àE n .

2. DimensiondeE n .

(a) Montrerque le noyau de!et la droite vectorielle engendrée parJsont supplémentaires dansE n . 2 (b) Pour(r; s)2[2; n]], on noteA r;s la matrice deE n dont tous les éléments sont nuls sauf les quatre éléments :a 1;1 ; a r;s ; a 1;s ; a r;1 qui sont tels que :a 1;1 =a r;s = 1eta 1;s =a r;1 =1. Montrer que la famille(A r;s ) (r;s 2 est libre puis quelle est génératrice du noyau de!. Endéduire )2[2;n] la dimension deE n . 3. Unefamille génératrice deE n . (a) Etablirque pour toute permutationde[1; n]], la matriceP  appartient àE n et que les matricesP  sont les seules matricesMdeE n telles que!(M) = 1nadmettant quun seul élément non nul par ligne et par colonne. (b) crirela matriceP  correspondant à la permutationdeS n dénie par : 8k2[1; n1]]; (k) =k+ 1et(n) = 1 2 3n Préciser les matrices :(P  );(P  ); : : : ;(P  ). (c) ExprimerJFaire de même avec chaquecomme combinaison linéaire de matrices de permutations. 2 matrice du typeA r;s quand(r; s)2[2; n]]: onpourra se limiter aux matricesA 2;2 etA 3;2 (sin>3) et donner une décomposition explicite de ces deux matrices en combinaison linéaire de matrices de permutations. 2 (d) Prouverquil existe(n1) +1permutations ; ;: : : ;  2 de[; : : : ; P) 1 2 (n1) +1 1; n]]telles que(P  1 ; P  2  2 (n1) +1 soit une base deE n . Que représente la somme des composantes dune matriceMdeE n relativement à cette base ?

Les deux parties suivantes du problème sont indépendantes de la partie I

On sintéresse dans toute la suite du problème à lensemble des matricesMdeE n dont tous les élémentsm i;j sont + positifs ou nuls.On noteEcet ensemble. n

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+ Partie II : Etude de lensembleE n + 1. MontrerqueEest stable pour le produit matriciel et que pour toute famille( 1 ;  2 ; :::;  p )de permutations n p X + de[1; n]]et toute famille( 1 ;  2 ; :::;  p )de réels positifs ou nuls, k P  2E. k n k=1 Dans cette partie, on admettra que: 8M2Enf0g;92Stel quem m  m >0 n n 1;(1) 2;(2)n;(n)

+ 2. (a)On suppose queest une telle permutation associée àM2Enf0get on désigne par n c= minfm ;:::; mm ;g: 1;(1) 2;(2)n;(n) + Montrer que :McP  2E. n + (b) Endéduire que pour toute matriceMdeEnf0g, il existep2N,ppermutations 1 ;  2 ; : : : ;  p de n p X ent positifs tels q. [1; n]]etpréels 1 ;  2 ; :::;  p :strictem ueM= k P  k k=1 + 2 (c) Montrerquune matrice deEpossédant au moinsnn+ 1termes nuls est nulle ; en déduire que : n 2 16p6nn+ 1. 0 1 3 1 2 @ A (d) Exemple: lorsqueM= 31 2, exprimerMcomme combinaison linéaire à scalaires strictement 0 4 2 positifs de matrices de permutations de[1;3]] n 3. Uneapplication :Lespace vectorielRest muni de sa structure euclidienne canonique et on notey >< x; n le produit scalaire de deux vecteursxetydeR. Ondésigne par(u 1 ; u 2 ; :::; u n )et(v 1 ; v 2 ; :::; v n )deux bases n orthonormales deR.

+ et (a) Vérierque la matriceM u;v = (< v i ; u j >)appartient àE n donner la valeur de!(M u;v ). Lorsqueest une permutation de[1; n]], préciserM u;v dans le cas où(v 1 ; v 2 ; :::; v n ) = (u ;:::; uu ;). (1)(2)(n) n (b) Onintroduit lendomorphisme symétriquesdeRdont(u 1 ; u 2 ; :::; u n )est une base orthonormale de diagonalisation et de valeurs propres respectivement associées 1 ;  2 ; :::;  n . 0 1  1  2 On notela matrice colonne B C . @ A .  n 0 1 < s(v)>; v 1 1 B C Montrer légalité matricielle : @ A =M u;v . . < s(v n ); v n > (c) En utilisant la questionII.2.b, établir que pour toute forme linéairefdeM n;1 (R), il existe deux 0 permutationsetde[1; n]]vériant :f(P  )6f(M u;v )6f(P  ). 0 (d) Onsuppose que :66  6etr2[1; n]]. 1 2n Trouver une forme linéairefpermettant den déduire les inégalités :

r rr X XX 6< s(v)>; v6 k kk nr+k k=1k=1k=1

Que représente le terme< s(v); v>dans la matrice desrelativement à la base(v ;v ;:::; v)et k k 1 2n pouvez- vous donner une interprétation matricielle des inégalités obtenues ci-dessus ?

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Partie III Lobjet de cette dernière partie est la justication du résultat admis dans la partieII.1. 2 Lorsque(p; q)2[1; n]], on appelle sous-matrice de type(p; q)de la matriceMappartenant àM n (R)toute matrice extraite deMen supprimant deM nplignes etnqcolonnes. 1. Lorsqueest une permutation de[1; n]]etMun élément deM n (R), expliciter le terme générique des matricesP  MetM P 1 . Commentobtient-on ces deux matrices à partir deM?  2. Onsuppose queMappartient àM n (R)et quelle contient une sous-matrice nulle de type(p; q).   X0 0 (a) Montrerque :9; deux permutations de[1; n]]telles queP  M P  =avecX2M p;nq (R), 0 Z Y Z2M np;nq (R)etY2M np;q (R). + (b) Endéduire que siMappartient àEnf0g, on ap+q6n. n 3. Ondésire établir la propriété(P n )suivante :siMappartient àM n (R)et vérie lhypothèse(H n ) :82 S: : : mm m= 0, alorsMcontient au moins une sous-matrice nulle de type(p; q)avec n 1;(1) 2;(2)n;(n) p+q=n+ 1.

(a) Levérier pourn= 2. (b)nétant supérieur ou égal à3, on suppose que la propriété(P k )est vériée pour toutk2[2; n1]]. On désigne parMune matrice appartenant àM n (R)et vériant(H n ). Etablir queMcontient une sous-matrice de type(n1; n1)vériant(H n1 ).   X0 0 En déduire que :9 ; 2S n ;9p; q=p+q=ntels queP  M P  =avecX2M p (R); Z2 0 Z Y M q;p (R)etY2M q (R). Montrer queXvérie(H p )ouYvérie(H q ). 0 00 0 En déduire alors queMcontient une sous-matrice nulle de type(p ; q)telle quep+q=n+ 1et conclure. 4. Montreralors, à laide de 2) b) que : + 8el que: : : m>m m0 M2E n nf0g;92S n t 1;(1) 2;(2)n;(n)

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