CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION TECHNOLOGIQUE MATHEMATIQUESI Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Lépreuve comprend trois exercices indépendants.
EXERCICE 1 Une société de location de voitures possède trois agences, une à Rennes, une à Lyon, une à Marseille. Lorsquun client loue une voiture, un jour donné, dans une des trois villes, il la restitue le jour même dans une des trois agences. On suppose quune voiture donnée nest louée quune seule fois dans la journée. Une étude statistique a permis de montrer que, pour une voiture donnée : 1 est louée à Rennes un certain jour, alors elle est laissée le soir à Lyon avec la probabilitési elle , tandis 4 3 quelle est laissée à Marseille avec la probabilité; 4 1 si elle est louée à Lyon, alors elle est laissée à Rennes avec la probabilité, laissée à Marseille avec la 2 1 1 probabilité ,et ramenée à Lyon avec la probabilité; 4 4 1 , laissée à Lyon avec la probabilitési elle est louée à Marseille, elle est laissée à Rennes avec la probabilité 2 1 1 , et ramenée à Marseille avec la probabilité. 4 4
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Pour toutndeN, on noteRn(respectivementLn,Mnla voiture se trouve à Rennes (respectivement) lévénement « Lyon, Marseille) le soir dun-ième jour ». On considère les probabilités suivantes :rn=P(Rn); ln=P(Ln); mn=P(Mn). On suppose quau départ, la voiture est à Rennes, et on pose donc :r0= 1; l0= 0; m0= 0. 0 1 1 0 0 @ A On désigne parIla matrice identité dordre 3, dénie par :I1 0= 0. 0 0 1 0 1 rn @ A 1. Pourtout entierndeN, on dénit la matrice colonne à trois lignesUnpar :Un=ln. mn (a) Vérierque, pour toutndeN, on a la relationUn+1=AUn, oùAest la matrice carrée dordre 3 suivante : 0 1 1 1 0 2 2 1 1 1 A= B4 4 4C @ A 3 1 1 4 4 4 (b) ExpliciterU0. Etablir,à laide dun raisonnement par récurrence que, pour toutndeN, on a : n U=A U. n0 n 2. Onse propose dans cette question de calculerA : 0 1 4 10 @ A On considère la matriceS,carrée dordre 3, dénie par :A= 30 1. 511 1 (a) Montrerque la matriceSest inversible et calculer explicitement sa matrice inverseS. 1 (b) Onpose =S ASsous forme de tableau, la matrice. Expliciter,. n (c) Donner,pour toutndeN, lexpression sous forme de tableau de la matrice. 1n n1 (d) ExprimerAen fonction deS,Set. Endéduire que, pour toutndeN, on aA=SS. n (e) Donner,pour toutndeN, lexpression sous forme de tableau deA. 3. (a)Exprimer, pour toutndeN,rn; ln; mnen fonction den. (b) Déterminerles limites de ces probabilités quandntend vers+1. 4. Lesoir dun jour donné, si on désire, où quelle se trouve, rapatrier la voiture à Rennes, le coût de cette opération est de 100 euros si la voiture est à Lyon, de 150 euros si la voiture est à Marseille, et évidemment nul si la voiture est à Rennes. On noteXnla variable aléatoire égale au coût de cette opération le soir dun-ième jour. (a) Donnerla loi deXn. (b) Calculerlespérance mathématique deXn.
EXERCICE 2 On désigne parfune fonction dénie et continue sur[0;1]et on considère la suite(In)dénie par : n2N 1 1 Z Z n I0=f(x)dxet, pour toutndeN; In=x f(x)dx 0 0 Lobjet de cet exercice est détudier la suite(In)pour di¤érentes fonctionsf. n2N
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2 1. Danscette question, on suppose quefest dénie par :f(x) = ln1 +x. (a) Montrer,à laide dune intégration par parties, que pour toutndeN, on a : 0 1 1 Z n+2 1x @ A In= ln22dx : 2 n1 ++ 1x 0 n+2 x n+2 (b) Etablir,pour toutxde[0;1], lencadrement :06 6x. 2 1 +x 1n+2 R x (c) Montrerquelimdx= 0. 2 1 +x n!+1 0 (d) Quelleest la limite denInquandntend vers+1? 1 2. Danscette question, on suppose quefest dénie par :f(x) =: 2 1 +x+x (a) PourtoutndeN, calculerIn+In+1+In+2en fonction den. (b) Etudierla monotonie éventuelle de la suite(In): n2N (c) Endéduire, pour toutnsupérieur ou égal à2, lencadrement : 1 1 6In6: 3(n+ 1)3(n1) (d) Quelleest la limite denInquandntend vers+1? x 3. Danscette question, on suppose quefest dénie par :f(x) =e, où e désigne la base des logarithmes népériens. (a) Montrerque la suite(In)est décroissante.En déduire quelle est convergente. n2N 1 (b) Etablir,pour toutndeN, lencadrement :06In6:En déduire la valeur de la limite de la suite n+ 1 quandntend vers+1. (c) Exprimer,pour toutndeN,In+1en fonction deIn: (d) Endéduire la limite denInquandntend vers+1:
EXERCICE 3 8 10 < six>0 2 On notefla fonction dénie surRpar :f(x) =(x+ 10): : 0sinon
Partie 1 1. Vérierquefpossède toutes les propriétés dune densité de probabilité. Dans toute la suite de cet exercice, on considère une variable réelleXayantfpour densité. 2. Déterminerla fonction de répartition deFdeX. 3. Endéduire la probabilité de lévénement(X >10): 1 10 4. (a)Vérier que, pour tout réelxpositif ou nul,xf(x) = 10 : 2 x+ 10(10 +x) R (b) Calculer,pour tout réelstrictement positif, lintégralexf(x)dx: 0 R En déduire la valeur delimxf(x)dx: !+1 0 (c) Lavariable aléatoireXadmet-elle une espérance mathématique ?
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Partie 2 Un appareil constitué de 6 composants fonctionne tant que quatre au moins dentre eux sont en état de marche. La durée de vie, en heures, de chaque composant est une variable aléatoire réelle suivant la même loi queX. On suppose que les durées de vie des di¤érents composants sont mutuellement indépendantes. On désigne parYla variable aléatoire égale au nombre de ces composants qui sont encore en état de marche au bout de cinq heures.
1. (a)Quelle est la probabilité quun composant quelconque fonctionne encore au bout de cinq heures ? (b) Reconnaîtrela loi deY.
2. Quelleest la probabilité que lappareil fonctionne encore après cinq heures dutilisation ?
Partie 3 Un autre appareil est constitué de deux composants semblables aux précédents, montés de telle façon que dès que lun des deux composants tombe en panne, lappareil est en panne. SoitX1etX2les variables aléatoires égales à la durée de vie de ces composants; on suppose toujours queX1et X2sont indépendantes et quelles suivent la même loi queX. On noteZla durée de vie de lappareil et on admet queZest une variable aléatoire à densité. On désigne parGla fonction de répartition deZet pargune densité deZ.
1. JustierqueZ= inf (X1; X2): 2. (a)Déterminer, pour tout réelxstrictement positif, la probabilité de lévénement(Z > x). (b) Calculer,pour tout réelx,G(x)etg(x): 3. (a)Trouver deux réelsaetbtels que, pour tout réelxpositif ou nul, on ait : x a b = +: 3 23 (x(+ 10)x+ 10)(x+ 10) (b) Endéduire queZpossède une espérance mathématiqueE(Z)et la calculer. 4. On constate que cet appareil fonctionne toujours au bout de dix heures.Quelle est la probabilité quil fonctionne encore au moins cinq heures de plus ?