Mathématiques II 2000 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2000
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 227
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS DADMISSION

Option économique

MATHEMATIQUESII

Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre .

On considère un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite dépreuves de la façon suivante, jusquà élimination dau moins deux des trois tireurs :

Tous les tirs sont indépendants les uns des autres. 2 .Lorsque A tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 3 1 Lorsque B tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à. 2 1 .Lorsque C tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 3 Lorsque quun des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves suivantes.

A chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun deux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés.

(Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A). Pour tout nombre entiern>1, on considère les événements suivants : ABC n : à lissue de lan-ième épreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . AB n à lissue de la: n-ième épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés . On dénit de façon analogue les événementsBC n , etCA n . A n : à lissue de lan-ième épreuve, seul A nest pas éliminé . On dénit de façon analogue les, événementsB n etC n . ; n à lissue de la: n-ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés . Enn,ABC 0 est lévénement certain,AB 0 ,BC 0 ,CA 0 ,A 0 ,B 0 ,C 0 ,; 0 lévénement impossible.

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PARTIE 1 On établit dans cette partie1quelques résultats probabilistes préliminaires. 1. Calculde probabilités

(a) Exprimer,siUetVdésignent deux événements quelconques dun espace probabilisé donné, la proba- bilitép(U[V)de lévénementU[Ven fonction dep(U),p(V)etp(U\V). (b) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir). (c) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir).

2. Déterminationde probabilités conditionnelles

(a) Montrerque lévénementAB n est impossible pour tout nombre entier natureln. Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABC n ,BC n ,CA n ,A n ,B n C n ,; n . (b) Expliciterla probabilité conditionnellep(ABC =ABC). n+1n (c) Expliciterp(BC n+1 =ABC n )à laide de la question 1, puis donnerp(CA n+1 =ABC n ). (d) Expliciterp(A n+1 =ABC n ),p(B n+1 =ABC n )etp(C n+1 =ABC n ). (e) Expliciterp(A n+1 =CA n ),p(B n+1 =BC n ),P(C n+1 =CA n )etp(C n+1 =BC n ). (f) Expliciterp(; n+1 =ABC n ),P(; n+1 =BC n )etp(; n+1 =CA n ).

3. Nombremoyen dépreuves à lissue desquelles sachève le combat On noteTla variable aléatoire indiquant le nombre dépreuves à lissue duquel cesse le combat, cest à dire au delà duquel il ne reste quun tireur au plus.

(a) Quelleest la probabilité de lévénementT= 1? (b) Soitn>2. Calculerla probabilité de lévénement suivant :

ABC 1 \ABC 2 \:::ABC n1 \ABC n

(c) Soitn>2la probabilité de la réunion des événements suivants pour. Calculer06k6n1

ABC 1 \:::\ABC k \CA k+1 \:::\CA n

(pourk= 0, il sagit de lévénementCA 1 \CA 2 \:::\CA n ) (d) Soitn>2la probabilité de la réunion des événements suivants pour. Calculer06k6n1:

ABC\:::\ABC\BC\:::\BC 1 k k+1 n

(pourk= 0, il sagit de lévénementBC 1 \BC 2 \:::\BC n ) (e) Soitn>2la probabilité. Calculerp(nT >)pour que le combat ne soit pas terminé à lissue de la n-ième épreuve, et en déduire la probabilitép(T=n)(on vériera que cette formule redonne bien pour n= 1le résultat obtenu à la question 3a. (f) Vérierque la somme de la série de terme généralp(T=n)(avecn>1) est égale à 1, puis déterminer sous forme de fraction irréductible lespéranceE(T)de la variable aléatoireT.

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PARTIE Il Dans cette partie, on détermine les probabilités pour que A, B, C remportent le combat. 1. Expressionde la matrice de transitionM (a) Onconsidère la matrice-colonneE n à sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas,p(ABC n ),p(BC n ),p(CA n ),p(A n ),p(B n ),p(C n ),p(; n ). Expliciter une matriceMcarrée dordre 7 vériant pour tout nombre entier natureln: E n+1 =M E n : On vériera que la somme de chacune des sept colonnes de cette matrice M est égale à1 (b) EndéduireE n en fonction den, deMetE 0 . 2. Calculdes puissances de la matriceM 0 (a) Onconsidère deux matrices carrées dordre 3 notéesU,U"et deux matrices rectangulaires à 4 lignes 0 et 3 colonnes notéesV,V"et lon forme les matrices carrées dordre 7    0 U OU"O 0 00 M=; M= 0 V I 4 V"I 4 oùOdésigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes etI 4 la riatrice-identité dordre4. Vérier à laide des règles du produit matriciel légalité suivante :   0 U O 0 M M" = 0 V U" +V"I 4   U O (b) Expliciterles matricesUetVtelles que :M= V I 4   U O n (c) Etablirenn par récurrence surn>1légalité suivante :M= n1 V+V U+::+IV U 4 3. Diagonalisationde la matriceU (a) Déterminer les valeurs propres 1 ;  2 ;  3 deUavec 1 <  2 <  3 et les vecteurs propres associés V ;V ;Vtels que : 1 2 3 lapremièrecomposante deV 1 vaut1. latroisièmecomposante deV 2 vaut1. ladeuxièmecomposante deV 3 vaut1. (b) OnnotePla matrice dordre3dont les vecteurs-colonnes sont, dans cet ordre,V 1 ; V 2 ; V 3 . Expliciterla 11 matrice inversePet préciser la matriceD=P UP. 4. Calculde la limite des puissances de la matriceM n2n1 (a) Expliciterles matricesDetI 3 +D+D+:::+D. (b) Ondit quune suite de matrices(X n )àplignes etqcolonnes converge vers une matriceXàplignes etqcolonnes si chaque coe¢ cient de la matriceX n converge quandntend vers+1vers le coe¢ cient correspondant de la matriceX. On admettra (sous réserve dexistence) que la limite dun produit est le produit des limites.Expliciter à n2n1 laide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles(D)et(I 3 +D+D+:::+D), n2n1 2n1 puis des trois suites matricielles(U),(I 3 +U+U+:::+U)et(V+V U+V U+:::+V U). n (c) Endéduire enn les limites des deux suites matricielles(M)et(E n ). (d) Vérierque les suites(p(ABC n )),(p(BC n ))et(p(CA n ))convergent vers0et expliciter sous forme dune fraction irréductible les limites des suites(p(A n )),(p(B n )),(P(C n )),(P(; n )).Comparer les probabilités respectives pour que A, B, C remportent le combat.

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