Mathématiques II 2001 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2001
• ESSEC IRENE

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

ESSEC. CONCOURS D’ADMISSION DE 2001 ´ Option scientifique. MATHEMATIQUES II

Lebutduprobl`emeestl’´etudeducoefficientdecorr´elationline´airededeuxvariablesal´eatoires qu’onaborded’aborddefa¸cong´ene´rale(partieI),puisdansuncasparticulier(partieII).

Partie I Onconside`redeuxvariablesal´eatoiresXetYe´deinfipeorabibil´seetssurunmˆemeespac admettantdesesp´erancesE(X) etE(Y) et des variancesV(X) etV(Y) et on supposeV(X)>0 (on rappelle queV(X)=ie0s,1a`elage´abilit´ecuneprobtnisa,evstueelemXest constante). Lacovariancedesdeuxvariablesale´atoiresXetYenadu`soese)t´sit(quees-ccellnedtsiioe`etsirc alorslenombrere´eld´efinipar Cov(X, Y) =E[(X−E(X))(Y−E(Y))],ou encoreE(XY)−E(X)E(Y) 1)seseavcnderaaiCvotoirl´ealesariabXetY a)Exprimer Cov(λX+Y, λX+Y) en fonction deV(λX+Ynavietumrouselduirelaf)etend´e pourtoutnombrere´elλ: 2 V(λX+Y) =λ V(X) + 2λCov(X, Y) +V(Y)   2 b)(Cvond´eEequeduirX, Y)≤V(X)V(Y).   2 Aquelleconditionne´cessaireetsuffisantea-t-onl’e´galit´eCov(X, Y) =V(X)V(Y) ? 2)esaliablsvarredee´ialnnitaoi´rleorectdencieffiCostae´erioXetY On suppose dans cette question les variancesV(X) etV(Y) deXetYstrictement positives. a)airexErpmienciectdleerefficolnoie´ni´rrotaleρablevaridesriseaeotas´lXetYen fonction de Cov(X, Yt-pysestrace´sedte)σ(X) etσ(Yiotaser)desvariablesal´eXetYet montrer queρ[tna`paapiert−1,+1]. Pre´ciserdeplusa`quelleconditionne´cessaireetsuffisanteρ`aalesegt´−1 ou +1. b)Donner la valeur deρesiras´laeotavirbaelrsquelesloXetY.setnadneped´inntso 2 c)On suppose enfin queXlaceonmrleiotinurtnseuree´ude´etiN(0,1) et queY=X. Pr´eciserlesespe´rancesetlesvariancesdeXetYainsi que la covariance et le coefficient de corr´elationdeXetYniostlar´lorsiera.Etudqaeudeleoruqcepi2)b). Partie II 1)siminairele´rpsluclaC a)atsnelurenesertisOnconuenxmorbis`dredeqetntels quen≥q. Enraisonnantparr´ecurrencesurnlrilbateelumrofateanivsu,´: n X q q+1 C =C k n+1 k=q b)En faisantq= 1,2,iudenuerpxeessernfiotoacs´rideee:setnaivsuesmmsoi3s,reonsdt´ n nn X XX k;k(k−1) ;k(k−1)(k−2) k=1k=2k=3 Onconside`redanstoutelasuitedecettepartiedeuxnombresentierspetntels que 1≤p≤n et une urne contenantnjumsnonet´tsee´oraed`1nraitnexttteudeceO.tsenrlumi´natneme et au hasardporspar:tojesnteno´dsegienla •Xqiautnellplsauveapriitableal´eatoireindestdm´nuosersdepotejitsnse´r. •Ydnqiriieellpautniablavareatoeal´sedsolddangruserm´nuespej´ritsnotse. On noteE(X),V(X) etE(Y),V(Y)lessioere´taselaarsvblianciadeesesecravt´psenareX etY.

ADans cette partie A, on suppose quep= 2 (autrement dit, on extrait deux jetons de l’urne et XetYpsultitenauqpeltesirdiinl´satoeaavirbaelsnoltse.´ero2num´es)stirlpsuteelddsergna 2)eal´saleesirtodsioLbairavseXetY a)blemae`e´letnemu’dssnenbredeparties`a2´uQleseltnemojtseneml´´le´´anee?`netms? Ende´duirelesprobabilit´esP(Y≤j) etP(Y=j) pour 2≤j≤n, puis, en raisonnant de meˆme,lesprobabilit´esP(X≥i) etP(X=i) pour 1≤i≤n−O(.1efiire´vneselqura formules donnantP(Y=j) etP(X=i) restent valables sij= 1 oui=n. b)edvsraailbselae´atoiresomCrepaesrlislon+ 1−XetY,uartmenedttieldseuxprobabilit´es P(n+ 1−X=j) etP(Y=j) pour 2≤j≤n. End´eduirequeE(n+1−X) =E(Y) etV(n+1−X) =V(Yup,)de´dnesiselereuiiossrexpns deE(X) en fonction deE(Y) et deV(X) en fonction deV(Y). 3)Espe´rancesetvariancesdesvariablesale´atoiresXetY a)leerimprExsecnare´psesE(Y) etE(X) en fonction den.   2 b)eeEximprsoersuofmrfecaotir´sE(Y(Y−puis2) ,E(Y),V(Y) etV(X) en fonction den. 4)ires´lasotaeiravelbaireaesedontin´lintdefficie´elacorrraaiCvocteocneeXetY 2 a)bobalitiqreualrpMontre´eP(X=i∩Y=jopa`elaget´es)ur1≤i < j≤n. n(n−1)   b)imrr´fsescuaooftseer´opsedee’ilucEend´eranE X(Y−2) etmontrer que : (n+ 1)(3n+ 2) E(XY) = 12 c)ondelatiEdne´udriseuofsormefactoris´eelvocaairaeecnceltfficoentiecode´errXetY.On remarqueraquececoefficientdecorre´lationline´airedeXetYnd´ependestinadten.

BbamDosnneelcttetreitneernr,oieevarepeBti´ne´lareuatngsacpfieri´ev1ncdo≤p≤n. 5)al´eblesresatoioLsiraaiedvsXetY a)e´DmretreniP(Y≤j) etP(Y=j) pourp≤j≤n,P(X≥i) etP(X=i) pour 1≤i≤n−p+ 1. b)Comparer les lois den+ 1−XetYedseisnorpseesexirel´edutendE(X) en fonction de E(Y) et deV(X) en fonction deV(Y). 6)lrbasaeilcanes´eneadvescreasavitEsp´eratoiresXetY p−1p a)lagee´tiefiir´’lrV´ejC =pse´pleseudridne´CteeceseranE(Y) etE(X) en fonction den. j−1j   p−1p+1 b)it´e(aleg’´rlfieri´eVj+1)jC =(p+1)pndtedu´eesirsfouemrotcafsiroee´CeE(Y+1)Y, j−1j+1 2 puisE(Y),V(Y) etV(X) en fonction den. 7)ovCeecnairaeicffieoctaeotrisebaelas´lesedrivan´liireaale´noitedtnrrocXetY a)pliciterExe´tilibaborpalP(X=i∩Y=j) pourp≤j≤net 1≤i≤j−p+ 1.   b)sforesouduirnd´eEe´pscnarefameorct´eis’eelE(Y+ 1)(Y−X) etmontrer que : (n+ 1)[(p+ 1)n+p] E(XY) = (p+ 2)(p+ 1) c)ocaveealecteirnarmefusforis´acto´dnEoseriudeceronedtffieicelocndeatior´elXetY.On remarqueraquececoefficientdecorre´lationlin´eairedeXetYadneedtnstind´epen.

Ce`anpposauouveDcsnaC,iesuonteetrtpap=snpee2otesedoropveoutrreesr´esrludstatlu IIAparuneautrem´ethode,ennesupposantconnuesquelesprobabilit´esP(X=i∩Y=j). 8)´eeng´ontincfolaednoitasilitUestoirl´ealesairbaseavcidearrtXetY Onde´signeparGg´on´eenfolatincs(reoiesal´eatevariablcuuolpdearrtcideX, Yeifin´e,d) par : n n X X i j G(u, v) =P(X=i∩Y=j)(1 +u) (1+v) j=1i=1

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