Mathématiques II 2002 Classe Prepa PSI Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques II 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2002 sur Bankexam.fr.

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• 2002

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• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

A 2002 Math PSI 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D’ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PSI (Durée de l’épreuve:3 heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière PSI.

Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Dans tout le problème,Iest le segment  0, 1  ,fest une fonction réelle définie et continue sur le segmentI,pest une fonction définie et continue sur le segmentI, positive(pour tout réelxde I,p  x  0). L’objet du problème est l’étude et l’approximation des solutions réelles, définies sur le 2 segmentIfois continûment dérivables (de classe, deuxC) des équations différentielles suivantes : E 0 u´´  x  p  x  u  x  0,

Eu´´  x  p  x  u  x  f  x  . vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segmentI: Cu  0  0,u  1  0. 2 Une fonctionu, de classeC, définie sur le segmentIles conditions, vérifiantC, est dite solution du problèmeP 0 si elle est solution de l’équation différentielleE 0 , respectivement solution du problèmePsi elle est solution de l’équation différentielleE.

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Première partie Exemples, r�sultats g�n�raux. I-1.Exemples: D�terminer toutes les solutions de l'�quation diff�rentielleEv�rifiant les conditionsCdans les deux cas suivants : a. La fonctionpest nulle et la fonctionfconstante et �gale
1 : p  x  0,f  x  1.

x b. La fonctionpest constante et �gale
1 ; la fonctionfest la fonctionxeoùest un r�el donn�: x p  x  1,f  x  e.

I-2.Unicit�des solutions: a. Soituune fonction solution de l'�quationE 0 v�rifiant les conditionsC; d�montrer que cette solutionuv�rifie la relation : 1 2 2  u  x  p  x  u  x  dx0. 0 En d�duire que la seule solution du problmeP 0 est la solution nulle. b. D�montrer que, pour des fonctionspetfdonn�es, il existe, au plus, une solution du problmeP. I-3.Existence d'une solution: a. tant donn�es deux fonctionsu 1 etu 2 solutions de l' �quation diff�rentielleE 0 , soitgla fonction d�finie sur l' intervalleIpar la relation suivante : g  x  u 1  0  u 2  x  u 2  0  u 1  x  . D�montrer que, si la fonctiongau point 1s' annulle  g  1  0  , la fonctiongest nulle sur l' intervalleI. En d�duire une condition n�cessaire et suffisante sur les deux solutionsu 1 etu 2 pour que la fonctiongannulle pas en 1ne s'  g  1  0  . Soientu 1 etu 2 deux solutions de l' �quation diff�rentielleE 0 ,v�quationune solution de l'E etetdeux scalaires. SoituetXla fonction et le vecteur d�finis par les relations suivantes :  u  x  u 1  x  u 2  x  v  x  ;X.  b. D�montrer que, pour que la fonctionusoit solution du problmeP, il faut et il suffit que le vecteurXv�rifie la relation matricielle suivante : U.XB, oùUest une matrice carr�e d'ordre 2 etBun vecteur qui seront pr�cis�s. c. D�montrer que le problmePadmet une solution unique.

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Deuxième partie Quelques propri�t�s de certaines matrices deM n  R  . n  Il est admis que l'application de l' espaceRdansR: X  x i    X   sup |x i |, 1in i1,2,...,n est une norme. Il est admis que l'application de l' espace des matrices carr�es d' ordren,  M n  R  dansR: AN  A  sup  A.X  , X1 n  x  deRses coordonn�esest esxsont est une norme. Un vecteurX i 1in dit positif si tout i positives ou nulles  x i 0  �crit :. Cette propri�t�s' X0. Une matriceAadeM n  R  est dite positive si tous ses termesasont i ji j 1in, 1jn positifs ou nuls. Cette propri�t�s' �crit : A0. n
tant donn�e la base canonique deR,e 1 ,e 2 ,,e n , soitEle vecteur dont toutes les 1 1 coordonn�es sont �gales 1 :E.  1 II-1.Quelques propri�t�s matricielles: SoitAaune matrice carr�e deM n  R  : i j 1in, 1jn a aa 1 11 21n a aa 2 12 22n A.    a aa n1n2n n a. D�montrer que, pour que cette matriceAsoit positive, il faut et il suffit que le vecteur n image de tout vecteur de la base canonique deRsoit positif.

n b.
tablir la propri�t�: pour tout vecteurXdeR,

 A.X  N  A   X  .

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c. D�montrer, pour une matriceApositive, la relation : n N  A  sup  a i j .    1 j i n 1 Comparer les deux expressionsN  A  et  A.E  ; en d�duire la norme de la matriceA. d. SoitAune matrice deM n  R  un vecteurposs�dant la propri�t�suivante : chaque fois qu'X n deRa une image positive (A.X0), le vecteurXest positif (X0). D�montrer que la matrice 1 Aest injective puis qu'elle est inversible et que son inverseAest une matrice positive.

II-2.Un exemple: SoientAetHles deux matrices carr�es d' ordrensuivantes : Les termes de la matriceAsitu�s sur la diagonale principale sont �gaux
2, ceux situ�s juste au dessus et juste au dessous
1, les autres sont nuls. La matriceHest diagonale et positive ; les termesh i , 1in, dela diagonale principale sont positifs ou nuls  h i 0  : 21 00h 1 0 00 1 210 0h 2 00  A 01 2 0 ;H 0 0h 3  0 .          0 0 02 00 0h n

n a. SoitXun vecteur deRde coordonn�esx i ,i1, 2,,n, telque le vecteur  AH  .X soit positif. D�montrer que le vecteurXun raisonnement par l' absurde, par exemple,aide d'est positif
l' en compl�tant la suite  x i  par des termesx 0 etx n1 nuls  x 0 x n1 0  en consid�rant, et 1in l' entierkpour lequel le r�elx k est �gal au plus petit des r�elsx i , 0in1 : x k minx i . 0in1

b. D�duire du r�sultat pr�c�dent que les deux matricesAHetAsont inversibles. 1 II-3.Norme de la matrice  AH  : SoitVetWles deux vecteurs d�finis par les relations suivantes :  1 1 V  AH  E,WA E. a. D�montrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteurA  WV  . n b. Comparer les normes des deux vecteursVetW; en d�duire : pour tout vecteurXdeR, 1  AH  .X  W   X  .

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II.4.Une majoration de la norme du vecteurW: SoitSl' ensembledes suites r�elles infinies  x k  v�rifiant, pourk0, la relation de k0 r�currence suivante : x k1 2x k x k1 1.   SoitS 0 l' ensembledes suites r�elles  x k  v�rifiant, pourk0, la relation de r�currence k0 suivante : x k1 2x k x k1 0.

a. D�terminer les suites qui appartiennent
l'espaceS 0 .

b. D�terminer une suite  y k  espaceappartenant
l'Squi soit un monome du deuxime k0 degr�:

2 y k a k.

c. D�terminer les suites qui appartiennent
l'espaceS; en particulier celles qui v�rifient les deux conditions suivantes : x 0 0,x n1 0.

1 d. D�terminer les coordonn�es du vecteurWA E; en d�duire que la norme de ce vecteur v�rifie l'in�galit�suivante : 1 2  W    n1  . 8

Troisième partie

Approximation de la solution du problmeP.

Dans toute la suite l' entiernest sup�rieur ou �gal
3  n3  . Soithett k ,k0, 1, 2,, nr�els d�finis par les relations suivantes :1, les 1k h,t k h.k,k0, 1, 2,,n1. n1n1

III-1 Une approximation de la d�riv�e seconde: Soituune fonction quatre fois continûment d�rivable sur le segmentI. SoitMle maximum de la valeur absolue de la d�riv�e quatrime :  4  Msup |u  x  |. xI Soienttethdes r�els tels que les r�elsthetthappartiennent au segmentI. D�montrer l' existenced' unefonctionRdes r�elstethqui v�rifient les relations suivantes : 4 2 h u  th  u  th  2u  t  h u  t  R  t,h  , |R  t,h  | M. 12

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III-2.ProblèmePdiscr�tis�: a. D�montrer que, si les deux fonctionspetfsont deux fois continûment d�rivables, la solutionudu probl
mePest quatre fois continûment d�rivable. n SoientXetYles vecteurs deRetHla matrice diagonale deM n  R  d�finis par les relations suivantes : 2 2 u  t 1  f  t 1  h p  t 1  h00 2 2 u  t 2  f  t 2  h0p  t 2  h0 X,Y,H.     2 2 u  t n  f  t n  h0 0p  t n  h

b. D�terminer, en d�signant toujours parAla matrice d�finie la question II-2, un majorant de la norme du vecteurZ  AH  .XY, au moyen des r�elsMeth. SoitXle vecteur d�fini par la relation suivante : 1 X  AH  Y. c. D�montrer la majoration : 2 XXK h, oKest une constante ; en donner une valeur l'aide deM. Donner une signification du vecteurX. Pr�ciser comment ce vecteur se calcule. FIN DU PROBLÈME

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