Mathématiques II 2003 Classe Prepa HEC (S) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2003 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 60
• Langue: Français

Extrait

HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.

Touteslesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceproble`mesontde´finiessurunmeˆme espaceprobabilis´e(Ω,B, Plee´.selelavrsru)et`a L’espe´ranced’unevariableale´atoireXeot´eestnE(X). SiAent´onne´ve´nutselibibaroeptdenem nulle on noteP(E/Al)orpaibabllsecaahtnlit´econditionneAdle´’mene´eevntE. Sinest un entier naturel non nul et six 1 , . . . , x n sontnleosre´(tonnnimex 1 , . . . , x n ) ouminx i 16i6n le plus petit d’entre eux. Onrappellequedeuxvariablesale´atoiresXetYprenant des valeurs positives ou nulles sont ind´ependantessietseulementsi,pourtoutcouple(a, bitifsounuls,ona:red)sopslee´ P([X6a]∩[Y6b]) =P([X6a])P([Y6b]) Onrappellequ’unevariableal´eatoireXprenant des valeurs positives ou nulles suit une loi exponentiellesietseulementsielleve´rifielaproprie´t´e,dited’absencedeme´moire: 2 ∀(x, y)∈R + P([X > x+y]/[X > x]) =P([X > y]) L’objetduproble`meestl’obtentiondediversescaracte´risationsdelaloiexponentielle.

PartieI:Unre´sultatd’analyse Onconside`reunefonctionr´eelleϕcontinue sur [0,1]. On noteMle maximum de la fonction|ϕ| sur [0,1]. Pour tout entier naturelnnonnuletlottu´reevde [0,1], on noteY n,v evuneae´lriotairaaelb suivantlaloibinomialedeparam`etresnetv. 1)Soitnun entier naturel non nul,x0nu´reedl]e,1[,εunr´eelstretcitnemisopvfitri´entfiasle ine´galite´s 0< x−ε < x < x+ε <1 a)rtuotruolee´Coer,pmparvde [x+ε,,l1]eennevm´[´etessY n,v 6nx] et [|Y n,v −nv|>n(v−x)] etend´eduirelesine´galit´es: v(1−v) 1 P([Y n,v 6nx])6 6 2 2 nε4nε b)suJe´rtletruop,uogoeunala¸connefard’utifievde [0, x−ε’i,legn´ital:´e] 1 P([Y n,v > nx])6 2 4nε ´ c)Etablirlesin´tilage´:se Z Z 1x−ε   M(1−x)M x ϕ(v)P([Y n,v 6nx]) dv6etϕ(v) 1−P([Y n,v 6nx]) dv6   2   2 2nε2nε x+ε0 d)’ielirdu´endE:e´tilage´n Z Z x1   1 ϕ(v) dv−ϕ(v)P([Y n,v 6nx]) dv6+ 2ε M   2 4nε 0 0 ´ 2)´reeottul,euqruopatErilbxde ]0,1[, on a, pour tout entier naturelntie´:essa,lndrazgalegn´’i Z Z x1 9M ϕ(v) dv−ϕ(v)P([Y n,v 6nx]) dv6 √   3 4n 0 0 3)On suppose maintenant que la fonctionϕop,efiire´verlnatutierutenurton, Z 1 n ϕ(v)vdv= 0 0 Z 1 a)oˆnyemuotrlopterifiou,pstJuPtie´`:l,´’gelantr´eelsacoefficieϕ(v)P(v) dv= 0. 0

b)irdu´eDesquesedps´ritnoedtncee´e,poesquutr´urtoeelxde ]0,e´:lati´’geonal1[, Z x ϕ(v) dv= 0 0 c)Montrer que la fonctionϕest nulle. Ainsi,onamontre´danscettepartiequesiϕest une fonction continue sur[0,1]ntirafive´ Z 1 n pour tout entier natureln,ϕ(v)vdv= 0, alorsϕest nulle. 0 Danstoutelasuiteduprobl`eme,onconside`reunesuite(X n ) n∈N toeal´saleabdreivaseri ∗ inde´pendantes,positivesounullestnotteata,mdedemsienesutmˆlaruse(e´tllun l’intervalle ]− ∞,0[) dont on notefalerts`noitcirretni’la0e[llva,+∞[. On suppose que la fonctionfest continue et strictement positive sur [0,+∞[. On noteF0alertsirtcoin`al’intervalle[,+∞ummoa`entuotsed[lefanotcoinder´epartitionc ces variables. On suppose de plus queX 1 (et donc chaque variableX i a)eenutemdncra´espe.

PartieII:Caract´erisationsdelaloiexponentielle`al’aideduminimumd’unnl´o-nntilecha Pour tout entier naturelnnon nul, on noteI n e´dnoitacilppa’leinfiuop,uotrtωde Ω, par I n (ωmin) =X i (ω) et onadmetqueI n estunevaricn.eunetdmiara´espeee´laelbauqeriota 16i6n 1)’aidr`alede´DimentereF, pour tout entier naturelnnoedepartititionder´al,lcnofnunno I n . 2)Dans cette question, on suppose que la loi deX 1 lssetauonu`ecommaloiestl(quiX i ) est exponentielledeparam`etreλstrictement positif. a)Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, la variablenI n eˆmalemeuqioX 1 . b)tierutenurtor,poerlanutD´eretnemineedncra´esp’elul,onnnI n . L’objetdesquestionssuivantesestd’´etablirquechacunedecespropri´ete´sestcaracte´ristique de la loi exponentielle. 3)Dans cette question, on suppose que, pour tout entier naturelnnon nul,nI n meleiomˆa queX 1 . ´ a)Etablir, pour tout entier naturelnlee´rtuottelunonnxp´t:eagill’´enul,ifouosit   n x F(x) = 1−1−F( ) n   x b)truortuonimrp,reDte´e´eelxlimpositif ou nul, la valeur de :nln 1−F.( ) n→+∞ n 0 c)Montrer que la loi deX 1 pxetnenoserapaetm`eltideleerF(0). 4)erivnO.l´erag´enucasenta −1 a)Montrer que la fonctionFeunebijectionde[i0sal´er,+∞[ sur [0,1[. On noteFsa r´eciproque. ` b)ourtou,prnienttelerutaa’lAdedihang’unctdevemenlb,eraailbrie´atnn:ea’lg,el´´utninlo Z 1 −1n−1 E(I n ) =n F(u)(1−u) du 0 ´ c)´eelourtoutratlbrip,Eude [0,:est´ilage´nisel,[1 Z 1 −1−1 06(1−u)F(u)6F(t) dt u −1 End´eduirequelafonctionG0[d´niefiures,1] parG(u) = (1−u)F(u) siu´lmenedteest´e [0,1[ et parG(1) = 0 est continue.

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