Mathématiques II 2005 Classe Prepa HEC (S) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2005 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 90
• Langue: Français

Extrait

HEC 2005, math 2

Danstoutleprobl`eme,netrtposemens.Onitifonetd´igesntneesedeitntssrtcirM n,r (R), l’ensembledesmatricesrectangulairesa`nlignes etrclonofficientsrnes`acoerulee´oP.sn=r, on poseM n (R) =M n,n (R). ∗n Pour tout entierndeN, on identifieRetM n,1 (R). t Latranspos´eed’unematriceAa`taprtpaanenM n (Re)ntsee´toAelemtnalonetr.Onpourra´ega T A. On´etudiedansceproble`me,quelquespropri´et´esduelildoe`rie´naem, qui constitue l’instrument debasedel’e´conom´etrie.

PartieI:Traceetmatricesale´atoires Pour toute matriceMtna`etanppraaM n (R), on appelle trace deM,(eetrnot´M), la somme de n X ses coefficients diagonaux; ainsi, siM= (m i,j ) 16i,j6n ,tr(M) =m i,i . i=1 On rappelle)rertadstnaidelcsq(euemon`ad´tpasn’onlerostr´islusestatviusstna •tacilppa’lteouat,`uirqntioamrtcieMdeM n (Racilnoitnutsppaeen´liirea,)atrace,eassocies deM n (R) dansR; •siAest une matrice deM n,r (R) etBune matrice deM r,n (R), alors tr(AB) = tr(BA) ; •siMetNsont deux matrices semblables deM n (R), alors tr(M) = tr(N). 1)SoitMune matrice deM n (Rsspo)tne´adqvaleurs propres (16q6nnot´)seeλ 1 , λ 2 , . . . , λ q . Pour tout entieride[1, qo,dne´isgnepar]]n i sl-aedsipmaecnesiondusouosice´a`rppoersa la valeur propreλ i . q X a)On suppose que la matriceMest diagonalisable surR. Montrer que tr(M) =n i λ i . i=1 b)On suppose que la matriceM= (m i,j ) 16i,j6n deM n (Rtie´gelasse)mystrte´ueiqon.Mertrs´le suivantes : q n n X XX t 22 2 tr(M M) = tr(M) =n i λ=m i,j i i=1i=1j=1 2)Pour tout entieride[1, n]] et pour tout entierjde[1, rseritoeal´saleabriva`dredeseo,cnnois]] re´ellesZ i,j Ω´s(eibilorabcapenespsuruniesd´efi,A, µlaO.)e´dntinfimaictrl´eatoearieZ`,a nlignes etrcolonnes,enassota`tnaictuoωde Ω, la matrice :   Z 1,1 (ω). . .Z 1,r (ω)     . Z(ω) =  .  =Z i,j (ω) 16i6n . . . 16j6r Z n,1 (ω)Z. . . n,r (ω) On suppose que lesnrs´eatoirelaselbairavZ i,j admenceepse´arteettnnuE(Z i,j ,e)ndtonfie´ti l’esp´erancedelamatriceZeE(ot´en,Z), comme la matrice deM n,r (Rstestlon)deneml´´e   sontlesespe´rancesE(Z i,j ), soitE(Z) =E(Z i,j ) . 16i6n 16j6r SiZetWa`seriotae´lsaceriatxmeutsdonnlignes etrcolonnes admettant chacune une esp´erance,etsiλno,lamertseee´rerqueraquE(λZ+W) =λE(Z) +E(W). Danslecasou`n=r, on appelle trace deZrt(´teeno,Zal´eablered´atoiinfierapeavir,)al n X tr(Z) =Z i,i et sin=roire=1l,mataireclae´taZtaioerco¨ıncideaveclavariableal´eZ i=1 et on a tr(Z) =Z. t t Danslecaso`ur= 1 etnest quelconque, siT= (T 1 T. . . n ) etW= (W 1 W. . . n ) n sontdeuxvecteursale´atoiresdeR, et siλe,ond´efiuelconqunu´reeqletsruetltinceve n ale´atoireλT+WdeRpar : t λT+W= (λT 1 +W 1 . . .λT n +W n )

a)SoitZera`nuematriceal´eatoinlignes etrseenre´pecnaoclonnesadmettantuE(Z). On conside`reunematriceAdeM r,n (R). Montrer queE(AZ) =AE(Z). SoitBntme´eel´nude ∗ M r,q (R), avecq∈N. Montrer queE(ZB) =E(Z)B. ´ b)SoitZemunriaterioa`laectae´nlignes etnnnescoloceanerse´putenttnadaemE(Z). Etablir lesdeuxe´galite´s     t t E(Z) =E(Z) etEtr(Z) =trE(Z)   Y 1 n   3)Dans cette question,Ydereoid´esignetcevnuetae´laruR´eot,nYadmettant= , . Y n uneespe´ranceE(Yot´eeariancenecnavoc-edeciravemunriatet)V(Y).    t On rappelle queV(Y) =E Y−E(Y)×Y−E(Y) . On admetmatadsleedavirecce-crianiancovaretee´rp´ipsorteeltionefinilad´queV(Y) d’un vecteural´eatoirediscretrestentvalablespourunvecteural´eatoiredontlescomposantessont desvariablesale´atoiresquelconques(discre`tesou`adensite´).Ainsi,ensupposantquepour toutide[1, n]] et pour toutjde[1, nlebraiio´tlaaeel,]]ravaY i Y j omnmeuedrd’otdener`ssop 1aumoins,onde´finitlacovariancedeY i etY j par Cov(Y i , Y j ) =E(Y i Y j )−E(Y i )E(Y j ), et siY i etY j sontind´epend(ovsCorals,teanY i , Y j ) = 0. nt t a)ertnoMertaiolae´etrutvecrtou,pourqueYdeR,V(Y) =E(Y Y)−E(Y)E(Y). t b)SoitBune matrice deM r,n (Ritefilr´’gel)atJi.es´uV(BY) =BV(Y)B. ´ c)SoitAune matrice deM n (R). On posem=E(Y) etJ=V(Yel´slbriEat.)s:it´eegal   t tt t E(Y AY) = trA∙E(Y Y) etE(Y AY) = tr(AJ) +mAm

PartieII:Lemod`eleline´aire Dans les parties II.A et II.B,netksdtnontieeuxenn´ersdo´vreqsiu1tfiine6k < n. L’espace n vectorielRsesedinumtiressal´eatoavirbaeluoetlsseiqon.Tuennieanecueerdilcrtsautcu conside´re´essontde´finiessurunespaceprobabilise´(Ω,A, µ) et admettent des moments d’ordre au moins 2. Onconsid`ereun´echantillondenidnvidisuxeidusndivsontnnodnoitiseC.ee´’utdaitrlapupone d´ecritsa`l’aidedekvariables statistiques)sere`tca(carllesr´eeC 1 , C 2 , . . . , C k . Pour tout entierj de[1, k]]c,act`erehaquecarC j fait l’objet deneossnon´eoterbstivax 1,j , . . . , x n,j . k n Onde´finitainsiuneapplicationlin´eairefdeRdansR, dont la matrice dans les bases canoniques k n deRetRest la matriceX= (x i,j ) deM n,k (R). On suppose que le rang deXe´agetsl`a 16i6n 16j6k k.   U 1   n SoitUeed=eal´irtotcevaruenuR, dont les composantesU 1 , . . . , U n sont des variables . U n ale´atoiresre´ellesde´finiessur(Ω,A, µolemnO.ippusesondpeteantdseˆeemllmetueudne´neit),m 2n queE(U) = 0 n etV(U) =σ I n o,u`0 n ´dsegienelevtcuenrluedR,I n lamatriceiditnede´te M n (R) etσnruel´eristemctu.sotineptocnnfini   α 1 k   Soitα= unvecteur non nul deRdont les composantesα 1 , . . . , α k sont inconnues (α . α k estunparam`etrevectoriel)   Y 1 n   Onconsid`ereunvecteurale´atoirenonnul,Y= deRtel que, pour toutide[1, n]], la . Y n k X variableal´eatoireY i ´dfieinseruΩ(,A, µ)s’´ecritY i =x i,j α j +U i . j=1 2