Mathématiques II 2006 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2006
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 211
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS DADMISSION

Option économique

MATHEMATIQUESII

Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.

Les deux problèmes sont totalement indépendants, le premier est consacré aux lois de probabilité et variables aléatoires discrètes.Dans le second on manipule au contraire des lois de probabilité et des variables aléatoires continues.

Notations :si aet b sontdeux nombres réels, on désigne para^bTout au longle plus petit de ces deux nombres. du sujet(;F; P)désignera un espace probabilisé et les variables aléatoires utilisées plus bas seront toutes dénies sur cet espace probabilisé.Sous réserve de son existence, lespérance mathématique dune variable aléatoire réelle Xsera notéeE(X)

Problème 1 Distance en variation et couplage. Partie 1 :Distance en variation. Dans cette première partie on considère un ensemble discretKdont on suppose quil est soit ni soit égal à  lensemble des entiers naturelsN:Adésigne lensemble de toutes les parties deKet pour toutA2 A, on noteA le complémentaire deAdansK. SoientPetQdeux lois de probabilité surKtout. Pourk2 K, on posep k =P(fkg)etq k =Q(fkg). On X rappelle que pour toutk2 K; p k >0, avecp k = 1plus toute probabilité. DePest entièrement déterminée k2K X par la donnée de(p k )puisque pour toutA2 A; P(A) =p k : k2K k2A LorsqueKest ni on dénit la distance en variation entre les probabilitésPetQpar X 1 (i)D(P; Q) =jpqj k k 2 k2K

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1. LorsqueK=f0; 1gexprimerD(P; Q)en fonction dep 1 etq 1 . 2. LorsqueK=N, vérier que la série de terme général(jp k q k j)est convergente. k2N On étend donc la dénition de la distance en variation donnée par(i)au cas oùK=N. 3. Vérierque pour toutA2 A;jP(A)Q(A)j 2[0;1]. X X 4. Montrerque pour toutA2 A;2jP(A)Q(A)j= (pq() +pq) k kk k      k2A k2A 5. Endéduire que pour toutA2 A; (ii)jP(A)Q(A)j6D(P; Q)

6. Montrerque la partieA=fkjk2 Ketq k >p k gréalise légalité dans(ii), cest à dire que jP(A)Q(A)j=D(P; Q) X 7. Démontrerla formuleD(P; Q) = 1p( k ^q k ) 8. Onconsidère un couple de variables aléatoires(X; Y)tel queXsoit de loiPetYsoit de loiQ. Autrement dit, pour toutk2 K; P(X=k) =p k etP(X=k) =p k Montrer queD(P; Q)6P(X6=Y)

Partie II Couplage binomiale-Poisson. Soitnun entier strictement positif etun réel strictement positif, strictement plus petit quen. Lobjetde cette deuxième partie est détudier un exemple, lapproximation de la loi binomiale par la loi de Poisson en terme de distance en variation.Plus précisément, si dune partB(n; =n)désigne la loi binomiale de paramètresnet=n et si dautre part on noteP()la loi de Poisson de paramètre, le but est de prouver la majoration suivante : 2  (iii)D(B(n; =n);P())6 n oùD(i)est dénie au 1. SoitY 1 ; :::; Y n nvariables aléatoires indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre=n, donner n X sans démonstration la loi deY i : i=1 2. Vérierque pour toutx[0;1] f(x) = 1(1x) exp (x): appartient à[0;1]: SoitU 1 ;  ; U n nvariables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètref(=n). On suppose que les variablesU 1 ; :::; U n sont indépendantes des variablesY 1 ; :::; Y n de la question II1). Pour i2 f1; :::; ngon poseX i = 0siU i =Y i etX i = 1sinon. 3. Vérierque pour touti2 f1; :::; ng,X i suit une loi de Bernoulli de paramètre=net donner la loi de n X X i . i=1

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4. Montrerque pour touti2 f1; :::; ng, 2  P(X i 6=Y i )6 2 n (On pourra établir que pour toutxréel,1 +x6exp (x)). 5. Montrerque :  ! ! n nn X X[ P X i 6=Y i 6PfX i 6=Y i g i=1i=i=1

6. Endéduire que :  ! n n X X 2  P X6=Y6 i i n i=1i= puis conclure quant à (iii). 7. Quelrésultat connu peut-on déduire de (iii) lorsquentend vers linni ?

Problème 2 (Couplage exponentielle-normale).

Dans ce problèmeXdésigne une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite,'sa densité de probabilité etsa fonction de répartition.On note par ailleursfla densité de la loi exponentielle de paramètre égal à1. On dénit également pour tout nombre réelx,g(x) =ln (1 (x))puisY=g(Y). On admettra queXadmet des moments de tout ordre, ce qui signie que pour tout entier naturelk, lintégrale +1 Z k jxj'(x)dxconverge. 1

Partie 1 Quantiles gaussiens On démontre dans cette partie des résultats utiles pour la partie 2. 1 1. Montrerqueréalise une bijection deRsur]0;1[dont on noteralapplication réciproque. 2. Calculerla fonction de répartition deYpuis constater queYsuit la loi exponentielle de paramètre 1. 3. (a)Vérier la validité de lidentité suivante : +1 Z '(x)(t) 1 (x) =dtpour toutx >0 2 x t x (b) Endéduire lencadrement : 1x(1 (x)) (E) 16 61pour toutx >0 2 x '(x) +1+1 Z Z 23 Indication pour la minoration :on pourra montrer tout dabord quet '(t)dt6x t'(t)dt: x x (c) Montrerléquivalence '(x) 1 (x)s: x x!+1 (d) Enutilisant (E) énoncée à la question I.3.b), montrer, que pour toutx >1   2 1 1x ln 16ln (x)g(xln (2) +) +60 2 x2 2 et en déduire léquivalence 2 x g(x)s x!+1 2

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Partie 2 Inégalité de transport. On dénit une applicationhsur[0;+1[par :h(t) =tln (t)t+ 1pourt >0eth(0) = 1.

1. Vérierquehest une application continue de[0;+1[vers[0;+1[. +1 Z  f(x) Sous réserve quelle converge, on noteK(f; ')la valeur de lintégrale'(x)h dx:On désire '(x) 1 vérier linégalité (dite de transport) suivante   2 (iv)E(XY)62K(f; ')

0 2. Montrerquegest une application dérivable surR:tout. Pourxréel calculerg(x)et vérier lidentité 0 g(x)f(g(x)) ='(x)

3. Vérierque lintégrale dénissantK(f; ')converge et montrer que

+1 Z K(f; ') ='(x) ln [f(g(x))='(g(x))]dx 1

+1 Z 2 4. Montrerque'(x) (xg(x))dxconverge et justier légalité suivante : 1

+1 Z   2 2 E(XY) ='(x) (xg(x))dx 1

+1 Z 0 5. Montrerque lintégrale'(x) (1g(x))dxconverge. 1 6. Démontrerque +1+1 Z Z   0 K(f; ')>'(x) ln ['(x)='(g(x))]dx+'(x)g(x) + 1dx 1 1 (On pourra utiliser en la justiant linégalité :ln (u)6u1pour touturéel strictement positif.) 7. Concluregrâce à une intégration par parties que lon justiera soigneusement.

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