Mathématiques II 2006 Classe Prepa HEC (S) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2006 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 193
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUESII Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Le problème a pour objet létude de quelques propriétés concernant le nombre de racines réelles dun polynôme de degrén, (n>1Dans les parties II et III, les polynômes considérés), à coe¢ cients réels xés ou aléatoires. sont à coe¢ cients réels et on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.Pour toute fonction 0 dérivable sur son domaine de dénition, la dérivée deest notéequatre parties du problème sont, dans. Les une large mesure, indépendantes.

Partie I : Nombre de racines réelles dun polynôme du second degré à coe¢- cients aléatoires

On considère dans cette partie, deux variables aléatoires réellesX 0 etX 1 dénies sur le même espace probabilisé (;A; P), indépendantes et de même loi.Pour tout!de, on considère le polynômeQ ! dindéterminéey, déni par : 2 Q ! (y) =y+X 1 (!)y+X 0 (!) On désigne parM(w)le nombre de racines réelles deQ ! .

1. Montrerque lapplicationMqui, à tout!deassocieM(!), est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).

2. SoitZune variable aléatoire dénie sur(;A; P), qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep(p2]0;1[). On suppose dans cette question queX 0 etX 1 suivent la même loi que2Z1.

(a) Déterminerla loi deX 0 .

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(b) Déterminerla loi deMet calculer son espéranceE(M). Dans les questions suivantes, on suppose queX 0 etX 1 suivent une même loi exponentielle de paramètre 1=2. 2 On pose :Y=4X ; Y=X ; Y=Y+Y, et on noteFF ;, les fonctions de répartition de 0 01 11 0 Y 0 F Y , et Y 1 Y 0 ,Y 1 etY, respectivement. 3. Montrerque lon a, pour tout x réel   p x=2 1esix > 0 1six>0 F(x) = Y 1 etF Y (x) = x=8 0 0six60 esix <0 En déduire lexpression ddeYet dune densitéf Y 1 deY 1 . une densitéf Y 0 0   p 1 1t  4. Soitgla fonction dénie surRparg(t) = p  exp+t, oùexpdésigne la fonction exponen- + t 2 4 tielle. +1 Z (a) Etablirla convergence de lintégrale impropreg(t)dt. 0 (b) Endéduire quune densitéf Y de la variable aléatoireYest donnée, pour toutxréel, par : 8 +1 Z 1 x=8 e g(t)dtsix <0 > < 32 0 f Y (x) = +1 Z 1 x=8 e g(t)dtsix>0 > : 32 x 5. Ondésigne parla fonction de répartition dune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. +1 Z p (a) Justierla validité du changement de variableu=tdans lintégrale impropreg(t)dt. 0 +1+1 Z Z p 2 v =2 (b) Endéduire queg(t)dt= 4e edv, et donner, pour tout réelxnégatif, lexpression def Y (x) 0 1 en fonction de. p   p  2e x x=8 (c) Montrerque, pour tout réelxpositif, on a :f Y (x) =e11 +. 8 2 (d) Déterminerla loi deMet son espéranceE(M)(on fera intervenir le nombre(1).

Partie II : Suites de Sturm

n n1 Soitnun entier supérieur ou égal à1, et soitP(X) =X+a n1 X+  +a 1 X+a 0 un polynôme normalisé (a n = 1On suppose que toutes les racines réelles de) donné, à coe¢ cients réels.Psont simples. Lobjectif de cette partie est de décrire un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles deP appartenant à un intervalle donné[a; b]. 0 On associe au polynômePla suite(R i ) i>0 de polynômes dénie de la manière suivante :R 0 =P; R 1 =P, et pour tout entierjtel queR j+1 6= 0, le polynômeR j+2 est lopposé du reste de la division euclidienne deR j par R. SiR= 0, on poseR= 0. j+1j+1j+2

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1. Montrerquil existe un entierk(k>2), tel queR k = 0. OnnoteR m (m>1), le dernier polynôme non nul de la suite(R i ) i>0 . Dans toute cette partie, on pose : 8 R=S RR 0 11 2 R=S > 1 2 R 2 R 3 < . R m2 =S m1 R m1 R m > : R=S R m1m m 2. (a)Montrer que sil existe un entierjde[0; m1]]et un réelx 0 tels queR j (x 0 ) =R j+1 (x 0 ) = 0, alors 0 P(x 0 ) =P(x 0 ) = 0. (b) Endéduire que le polynômeR m nadmet pas de racine réelle. (c) Soitjun entier de[1; m1]]que si. Montrerx 0 est une racine réelle deR j , alorsR j1 (x 0 )R j+1 (x 0 )< 0. 3. Soits= (s 1 ; s 2 ; : : : ; s t )unet-liste (t>2On ôte de) de nombres réels non tous nuls.stous les éléments nuls en préservant lordre, et on obtient ainsi unep-liste (p6t)sb= (sb 1 ; sb 2 ; : : : ; sb p ). On appellenombre de changements de signe des, le nombre déléments de lensembleEdéni par : E=fi2[1; p1]]; =sb i s i d +1 <0g: Sip= 1, on dit que le nombre de changements de signe est nul. Par exemple, sis= (0;3;0;5;3;2), on a :sb= (3;5;3;2), et le nombre de changements de signe est égal à2. Pourtout réelx, on note respectivementC 1 (x); C 2 (x)etC(x), le nombre de change- ments de signe du couple(R 0 (x); R 1 (x)), de lam-liste(R 1 (x); R 2 (x); : : : ; R m (x)), et de la(m+ 1)-liste (R 0 (x); R 1 (x); R 2 (x); : : : ; R m (x)). On désigne parx 0 une racine réelle du polynômeP. (a) En étudiant les variations dePau voisinage dex 0 , montrer quil existe un réel 1 >0tel que, si h2]0; [, on a :C(x+h)C(xh) = 1. 1 10 10 (b) Àlaide de la question2.c, montrer quil existe un réel 2 >0tel que, sih2]0;  2 [, on a :C 2 (x 0 + h) =C 2 (x 0 h)soit,(on distinguera les deux éventualités :x 0 nest racine daucun des polynômes R 1 ; R 2 ; : : : ; R m , soit, il existe un entierjde[1; m1]]tel queR j (x 0 ) = 0). (c) Déduiredes deux questions précédentes que pour= min( 1 ;  2 )eth2]0; [, on aC(x 0 +h)C(x 0 h) = 1, et que siaetbsont deux réels qui ne sont pas racines dePet qui vérienta < b, alors le nombre de racines réelles dePdans[a; b]est égal àC(b)C(a).

4. (a)Soitune racine (réelle ou complexe) deP. n1 X n n1 Montrer que sijj>1, alorsjj6jjj a k j. k=0 n1 X En déduire, pour toute racinedeP, linégalité :jj61 +j k j. k=0 (b) Ecrireen français, un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles deP. 5. Ondénit en Pascal const n = ..., Type tab=array[1..n] of real; Var T : tab ; Ecrire une fonction Pascal dont len-tête estFunction nbchgs(T:tab):integerqui donne le nombre de changements de signe dans la suite de réels(T[1] , T[2], ..., T[n] ). On tiendra compte du fait que le tableauTpeut contenir des éléments nuls.La fonctionnbchgsnutilisera que le tableauTOn expliquera en français la démarche utilisée.et aucun autre tableau auxiliaire.

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Partie III : Un majorant du nombre de racines réelles deP m m1? SoitVun polynôme deRtel queV(X) =v m X+v m1 X+  +v 1 X+v 0 . OnnoteVle polynôme réciproque m m1 du polynômeV, déni par :V(X) =voX+v 1 X+  +v m1 X+v m .  Soitnun entier deNconsidère lapplication. OnTqui, à tout polynômePde degrén, normalisé, à coe¢ cients n n10 réels,P(X) =X+a n1 X+  +a 1 X+a 0 , associe le polynômeT(P)déni parT(P)(X) =XP(X). On désigne parN 0 (P)le nombre de racines non nulles dePdans lintervalle[1;1]comptées avec leurs ordres de multiplicité, parN 1 (P)le nombre de racines dePdans] 1;1][[1;+1[comptées avec leurs ordres de multiplicité, et parN(P)le nombre de racines réelles dePcomptées avec leurs ordres de multiplicité.   k 1. (a)Etablir, à laide du théorème de Rolle, linégalité :N 1 (P)6N 1 T(P2) +. k (b) PourtoutkdeN, on poseT=TT    T(kfois).   k Montrer queN 1 (P)6N 1 T(P) +2k. 1 ? n 2. (a)Montrer que pour tout réelxnon nul, on aP(x) =x P. x  (b) MontrerqueN 1 (P) =N 0 (P) 3. Pourtout réelxet pour tout entier naturelknon nul, on pose :     k kk 1 2n1 2n1 Q k (x) = 1 +a n1 1x+a n2 1x+  +a 1 1x n nn   ? k k Montrer queT(P) =n Q k . y 4. (a)Etablir, pour tout réelyde[0;1], linégalité :(1y)e61. (b) On admet la propriété suivante :soitretdeux réels tels que0< r < . OnnoteD p =fz2 C=jzj6g. SoitUun polynôme deRtel queU(0)6= 0. Soitun réel strictement positif tel que pour toutzde D p ,jU(z)j6. Alors,le nombre de racines réelles deUcomptées avec leurs ordres de multiplicité, dans lintervalle[r; r], est majoré par le réel :   1   ln:  jU(0)j ln r k=n En appliquant cette propriété au polynômeQ k avecr= 1et=e, (k2N), déduire des questions n1 X n  précédentes que pour toutkdeN, on a :N 1 (P)62k+ ln(L(P)), avecL(P) = 1 +ja i j: k i=0   (c) Soitla fonction dénie surRpar :(x) = 2x+, oùest un paramètre réel positif. + x i. Etudierles variations de. p p ii. Montrerque(=2 + 1)62 + 22. p iii. Endéduire linégalité :N 1 (P)622 + 2nln (L(P)). (d) Ensupposanta 0 6= 0, on démontrerait de même (et on admettra dans la suite du problème) que : s   L(P) N 0 (P)622 + 2nln ja 0 j Conclure en donnant un majorant deN(P), fonction des coe¢ cientsa 0 ; a 1 ; : : : ;a n1 .

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Partie IV : Nombre de racines réelles dun polynôme de degréncientsà coe¢ aléatoires

Pournentier supérieur ou égal à2, on considère dans cette partie, les variables aléatoires réellesX 1 ; X 2 ; :::; X n1 dénies sur le même espace probabilisé(;A; P), indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre, strictement positif. Pour tout!de, on considère le polynômeQ ! , dindéterminéey, déni par :

n n1 Q ! (y) =y+X n1 y+  +X 1 (!)y+ 1

SoitM n (!)le nombre de racines réelles deQ ! admet que lapplication. OnM n :!7!M n (!)est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).

n1 X 1. Ondénit la variable aléatoireL n par :L n = 2 +X i . SoitZ n =L n 2la loi de. RappelerZ n . i=1 2. laidedes résultats de la partieIII, montrer que pour tout!de, on a : p p M n (!)64 + 42nln (Z n (!) + 2)

2 3. Soithune fonction de classeC, concave surR + . SoitWune variable aléatoire dénie sur(;A; P), à valeurs dansNsuppose lexistence des espérances. OnE(W)etE(h(W)). 0 (a) Montrerque, pour tout couple(x 0 ; x)de réels positifs, on a :h(x)6h(x 0 )(xx 0 ) +h(x 0 ). (b) Enprenantx 0 =E(W), établir linégalité suivante :E((h(W))6h(E(W)). p 4. (a)Montrer que la fonction'dénie surR + par'(xln() =x+ 2)est concave surR + . k p a (b) Soitaun réel positif.Montrer que la série de terme généralln(k+ 2)est convergente. k! 5. (a)Prouver lexistence de lespéranceE(M n ). (b) Montrerque, pour tout réelstrictement supérieur à1=2, on a : E(M n ) lim =0  n n!+1

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