Mathématiques II 2006 Classe Prepa PC Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques II 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2006 sur Bankexam.fr.

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• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 21 février 2007
• Nombre de lectures: 293
• Langue: Français

Extrait

A 2006MATH. IIPC

ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2006

SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES

Filire PC

(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES II - PC.

L’nonc de cette preuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.

L’objectif de ce problme est de montrer la proprit suivante: soient deux familles de rels(a k , k= 1,∙ ∙ ∙, n)et(b k , k= 1,∙ ∙ ∙, n)satisfaisant

0< a 1 ≤a k ≤a n et0< b 1 ≤b k ≤b n pour toutk∈ {1,∙ ∙ ∙, n},

les ingalits suivantes sont vrifies: n n P P 2 2 a b k k 2 (a b k=1k=1 n b n +a 1 1 ) .(1) 1≤   2 ≤ n P 4a 1 b 1 a n b n a k b k k=1 On dsignera dans tout le problme par: –M n, p l’espace des matrices relles Ànlignes etpcolonnes. On note 0 n, p , la matrice nulle. –M n , l’ensemble des matrices relles carres d’ordren. On note0 n , la matrice nulle. t –Mla transpose d’une matriceM. –S n , le sous-ensemble deM n , constitu des matrices symtriques d’ordre t n, c’est-À-dire les matricesAqui satisfontA=A. –I n la matrice identit d’ordren. –(X|Y)le produit scalaire de deux matrices colonnes. On rappelle que pour toute matriceAdeM n, p et tout couple de matrices colonnes(X,Y)oÙX∈ M n,1 etY∈ M p,1 :, l’identit suivante est satisfaite

t (AX|Y) = (X|AY).

Definition 1Une matriceAest dite positive lorsque pour toutXdeM n,1 , (AX|X)≥0. Une matriceAest dite dÉfinie positive lorsque pour toutX6= 0 deM n,1 ,(AX|X)>0.

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I. PrÉliminaires

Dans cette partie,Aest un lment deS n .

1) MontrerqueAest positive si et seulement si les valeurs propres deA sont toutes positives.

2) MontrerqueAest dfinie positive si et seulement siAest positive et inversible.

3) SiAest dfinie positive, montrer qu’il existe une matriceC, symtrique 2 dfinie positive telle queC=A.

2 4) SiAetCsont symtriques dfinies positives etC=A, montrer que, pour toute valeur propreλdeA, on a: √ Ker(A−λI n ) =Ker(C−λI n ).

5) Endduire que siAest dfinie positive, il existe une unique matrice 2 symtrique dfinie positive telle queC=Aet que dans toute base de vecteurs propres deA,Cest diagonale.

1/2 On notera dsormaisC=A.

6) OnsupposeAdfinie positive. Montrer qu’il existe une unique matrice, −1/2−1/2−1/2−1 noteA, symtrique dfinie positive telle queA A=A.

1/2−1−1/2 7) Prouverque(A) =A.

8) SoitBune matrice symtrique positive qui commute avecA. Est-ce que 1/2 1/2 AetBcommutent ?

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II. InÉgalitÉdeKantorovitch

Dans cette partie,Aest une matrice fixe deS n , dfinie positive. On range les valeurs propres deA, rptes suivant leur multiplicit, dans l’ordre croissant :0< λ 1 ≤. . .≤λ n . On notemetMdeux rels strictement positifs tels quem≤λ 1 etλ n ≤M.

9) Pourtout lmentX∈ M n,1 :, montrer l’ingalit suivante 2−1 (X|X)≤(AX|X)(A X|X).

(2)

10) Quellessont les matrices pour lesquelles cette ingalit est une galit pour toutXdeM n,1 ?

SoitFla fonction polynomiale qui À toutsdeIRassocie 2 F(s) =s−(m+M).s+mM.

11) Quellessont, en fonction de celles deA, les valeurs propres de la ma- triceF(A)?

12) Montrerque toutes les valeurs propres deF(A)sont de mme signe. Prciser ce signe.

13) SoitNla matrice dfinie par   −1 N=−A−(m+M) I n +.mM A Montrer queNest symtrique positive.

Pour tout lmentX∈ M n,1 , on considre l’application polynomialef deIRdansIR:dfini par 2−1 f(s) = (AX|X).s−(m+M)(X|X).s+ (A X|X)mM.

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14) Calculerf(0)etf(1)et montrer quef(0)f(1)≤0.

15) tablirque pour toutX∈ M n,1 , l’ingalit suivante est satisfaite: 2 (m+M) −1 2 (AX|X)(A X|X)≤(X|X).(3) 4mM

2 16) SoitD={(m, M)∈IR/0< m≤λ 1 ≤λ n ≤M}. tablir l’identit suivante : 2 2 (m+M) (λ 1 +λ n ) inf =. mM λ 1 λ n D

17) Onsuppose queAn’est pas une homothtie. On considreX 1 (respecti- vementX n ) un vecteur colonne propre, de norme 1, pour la valeur propre λ 1 (respectivementλ n ). On poseX=X 1 +X n . Calculer −1 (AX|X)(A X|X) . 2 (X|X)

18) Quepeut-on en dduire sur l’ingalit (3)?

III. InÉgalitÉdePlya-Szeg

On suppose dornavant queA 1 etA 2 sont deux matrices symtriques, dfinies positives qui commutent. On notem i (respectivementM i ), la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre deA i , pouri= 1,2.On −1 poseD=A 1 A . 2

19) Dterminerun relαtel que pour tout lmentXdeM n,1 , l’ingalit suivante soit satisfaite:

−1 2 (DX|X)(D X|X)≤α(X|X).

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1/2 1/2 20) Exprimer(D(A 1 A 2 )X|(A 1 A 2 )X)en fonction deA 1 X, pour tout X∈ M n,1 .

21) Montrerque pour toutX∈ M n,1 :, l’ingalit suivante est satisfaite

2 (A 1 X|A 1 X)(A 2 X|A 2 X)≤α(A 1 X|A 2 X).

22) tablirla relation (1).

FIN DU PROBLME

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