MATHÉMATIQUES II Filière PSI

Laurent

Description

Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES II Filière PSI Concours Centrale-Supélec 1998 Exemples de suites récurrentes de polygones du plan Notations, valables pour l'ensemble du sujet : • Pour tout , on note . • désigne un entier naturel supérieur ou égal à . • est l'ensemble des matrices à coefficients complexes possédant li- gnes et colonnes. • Pour toute matrice de , on note la transposée de . • Si on note : . Par exemple, lorsque , . Définition : on dit qu'un endomorphisme de est canoniquement associé à une matrice de si et seulement si est la matrice de dans la base canonique de . Partie I - Étude des matrices compagnes I.A - Cas général I.A.1) Soit . On note l'endomorphisme canoniquement associé à . Calculer le déterminant de . Déterminer le rang, l'image et le noyau de . q IR˛ ei q q i qsin+cos= k 3 Mk IC( ) k k M Mk IC( ) M t M a0,… ak 1–,( ) ICk˛ M a0,… ak 1–,( ) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 a0 a1 ak 2– ak 1– Mk IC( )˛= k 3= M a0 a1 a2,,( ) 0 1 0 0 0 1 a0 a1 a2 = u ICk M Mk IC( ) M u ICk a0,… ak 1–,( )

• polygone


• a0 …


• polygone d'ordre


• barycentre des points affectés des coefficients


• mt a0


• coefficients complexes possédant

Sujets

• Polygone

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Extrait

MATHÉMATIQUES II

Concours Centrale-Supélec 2002

1/6

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-

phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel

Dans tout le problème,

• les espaces vectoriels

et

sont munis de leur produit scalaire

canonique et orientés par leur base canonique,

• on désigne par

ou

le produit scalaire de deux vecteurs

d’un espace vectoriel euclidien, par

la norme associée,

• on désigne par

le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel

euclidien orienté de dimension 3.

Les vecteurs dans les espaces vectoriels

sont notés en colonnes, mais on leur

préférera la notation

, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande

taille.

Partie I - Étude dans

euclidien orienté de dimension 3

On considère dans cette partie

espace vectoriel euclidien orienté de

dimension 3 et la base canonique

orthonormale directe. Si

est dans

on définit

, endomorphisme de

, par sa restriction à

:

I.A -

Dans cette question on considère les endomorphismes

, de

matrices respectives

et

dans la base

:

Déterminer

et

, matrices respectives dans la base

de

et

.

IR

3

IR

4

,

IR

6

x

y

,

〈

〉

x

y

⋅

x

y

,

.

∧

IR

n

…

(

)

t

E

E

IR

3

=

B

e

1

e

2

,

e

3

(

,

)

=

u

L

E

(

)

u

~

E

B

u

~

e

1

(

)

u

e

2

(

)

u

e

3

(

)

∧

=

u

e

2

(

)

~

u

e

3

(

)

u

e

1

(

)

∧

=

u

~

e

3

(

)

u

e

1

(

)

u

e

2

(

)

∧

=



















u

1

u

2

,

L

E

(

)

∈

U

1

U

2

B

U

1

0

0

1

–

1

0

3

–

0

1

3

–





















=

U

2

0

1

1

0

1

1

–

0

1

1





















=

U

~

1

U

~

2

B

u

~

1

u

~

2