Mathématiques III 2003 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques III 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003
• HEC

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 66
• Langue: Français

Extrait

´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

´ OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Mercredi7mai2003,de8h`a12h.

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautoris´ee.

EXERCICE   a b 1.Soitaetb´rxuedeelsstrictementpsotifiestAecicr´ard’eedror´d2einfierape:alamrtA= . b a a) Montrerque siaetbecirtamal,xu´egasontAn’est pas inversible. 2 b) Calculerla matriceA−2aAiseriu,euq.End´edaetbsont distincts, la matriceAest inversible −1 et donner la matriceA. c) Montrerque les valeurs propres deAsonta+beta−b.   a+b0 d)OnposeΔ=.D´eterminerunematriceQsl,eer´tsencieffico`a2erdro’dee´rrac, 0a−b −1 inversibleetdontles´el´ementsdelapremie`relignesont´egaux`a1,v´erifiantA=QΔQ. −1n e) Calculerla matriceQt,`al’aieseitnorpededaluq,ctecualc´´eenedecirlreltamaApour tout entier naturel non nuln. 2.Soitpfiari´elveer´un0tn< p <1 etq1ele´rel−p. On suppose queXetYlbailasetae´eriossontdeuxvar d´efiniessurlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,A,Pequm,´ienodriet)nadnepe´iustesetmˆlantvag´oielem deparame`trep.   X(ω)Y(ω) Pour toutωaprd´esignedeΩ,onM(ω:etnaviu2srerd’oed´errcamatairecl)et Y(ω)X(ω) on noteS(ω) (respectivementD(ω)) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de M(ωuxdesiinleabrivanote)atinfie´dΩaeotas´lus(rrise,A,P). p a)Montrerquelaprobabilit´edel’´eve´nement[X=Yep´enndost]e:raP([X=Yet en]) = 2−p d´eduirelaprobabilite´del’e´ve´nement{ω∈Ω ;M(ω) est inversible}. b)Calculerlacovariancedesvariablesale´atoiresSetD.

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c)Calculerlesprobabilite´sP([S= 2]∩[D= 0]),P([Set= 2])P([D= 0]). Lesvariablesale´atoiresSetDndpe´endsileelt-nosnaet?s 2n−2 ´ d) Etablir,pour tout entier natureln2:`au´roalege´puueirsP([S=n]) = (n−1)p q. 2 , e)Ende´duire,lorsquepresal`at´eguqleuelrvalaluaprospblbaeledulpaargsvednuela 21 propre des matricesM(ω) possibles est 11.

` PROBLEME ´ Partie A : Etude d’une fonction

1 1.a) Onsuppose, dans cette question, qu’il existe une fonctionfde classeCsur les intervalles ]−∞,0[ et ]0,tu´reeltnopruot,v´erifia1[xt`ana]paapenrt− ∞,0[∪]0,’l,[age´e:l1it´ 0 x(1−x)f(x) + (1−x)f(x) = 1 Soith]ruseinefid´ontincfola− ∞,0[∪]0,1[, par :h(x) =xf(x). 1 Montrer quehest de classeCsur les intervalles ]− ∞,0[ , ]0,´erirsad.v´ee1e[ucelctla Ende´duirequ’ilexistedeuxconstantesre´ellesc 1 etc 2 v´fiiretna  ∀x∈]− ∞,0[, h(x) =−ln(1−x) +c 1 ∀x∈]0,1[, h(x) =−ln(1−x) +c 2 b)Onde´finitunefonctionfsur les intervalles ]− ∞,0[ et ]0,1[ par :  −ln(1−x) +c  1  ∀x∈]− ∞,0[, f(x) = x −ln(1−x) +c  2  ∀x∈]0,1[, f(x) = x ou`c 1 etc 2 s.scxuedtnoteanstonleel´esr De´terminerlesconstantesc 1 etc 2 pour que la fonctionf.0ne´eitnutionrcpaleegbalonotirpos 2.Dans toute la suite de cette partie,fisnglefa]rde´fin´esuiectonndio− ∞,1[ par :   ln(1−x) f(x) =−six6= 0 x  f(0) = 1 a)Donnerlede´veloppementlimite´en0`al’ordre3delafonctionx7→ln(1−x)puisleve´dpoleemeptn limit´een0`al’ordre2delafonctionf. 0 b)Ende´duirequelafonctionftconesiravd,e´ee0nitun´eprsecieebletn0edrvalruelaf(0). c) Montrerque, pour toutxde ]− ∞,0[∪]0,1[, on a :   1 1 0 f(x) =−f(x) 1−x x 1 Enutilisantlede´veloppementlimit´edelaquestionpre´c´edente,montrerquefest de classeC sur ]− ∞,1[. x ´ 3.le signe de la fonctiona) Etudierϕruse]d´efini− ∞,1[ par :ϕ(x+ ln(1) =−x)∙ 1−x Ende´duirelesvariationsdelafonctionf b) Donnerle tableau de variation de la fonctionfgronhiapenestitadeuqeetllerape´ra’llrudefen pre´cisantlesasymptotes,latangentea`l’origineetlapositiondelacourbeparrapporta`cette tangente au voisinage de l’origine.

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4.Soitxllva0e]nu´reedllei’tnre,1[. a) Soithalcnofn]oriutsfieei´nd− ∞,1[ par :h(t) =−ln(1−t) . 0 00(n) Calculer,pourtoutr´eeltde ]− ∞,1[,h(t), h(t), puis pour tout entier naturelnnon nul,h(t). b) Justifier,pour tout entier natureln’l,e:´tilage´ n+1 Z X k x n+1 x(x−t) h(x) =+ dt n+2 k(1−t) 0 k=1 x−t ´ c)Etablir,pourtoutr´eeltde l’intervalle [0, x,]alodbuelnie´agil´t:e06 6x∙ 1−t End´eduire,pourtoutentiernaturelnnnno,lulouad´ngelbiee´:lati n k X x n+1 06f(x)−6x f(x) k+ 1 k=0 ∞ X n x d)Justifierl’e´galit´e:f(x) =∙ n+ 1 n=0

´ PartieB:Etuded’unevariableal´eatoirea`densite´

1.Dans cette questionfnotiesqula`aiefin´eoidnnotcltfase2.de la partie A.  lnt  f 1 (tsi) =t6= 1 t−1 a) Soitf 1 ofalitcnd´onniefiures]0,1] par :  f 1 (1) = 1 Justifierlacontinuit´edef 1 sur ]0,e´at]1tep,uolbritr´ertouelxde ]0,ital:´e,l1[eg’´ Z Z x1 f(t) dt=f 1 (t) dt 0 1−x ´ b) Soitaunr´]0etvrlaeleedllen’,1[. Etablir pour tout entier naturelnit´eegal,l’´: Z 1 n+1 alna1 n n+1 tlntdt=− −(1−a) 2 n(+ 1n+ 1) a Z Z 1 1 1 n n End´eduirelaconvergencedel’inte´graletlntdtt´e:te’le´agiltlntdt=− ∙ 2 (n+ 1) 0 0 c) Soita´enrdeelinl’rvte]0aulle,1[ etn´dmeer,lanutitreunenuttourpoertrontde [a,tilage´’l,]1´e Z n Z Z X 1 11 k n+1 f 1 (t) dt+tlntdt=t f 1 (t) dt a aa k=0 d) Montrerque la fonctiont7→t f 1 (t) est prolongeable en une fonctionh 1 continue sur [0,1]. Z 1 End´eduirequel’int´egralef 1 (t) dtreegteuqe’llvee´rifie:nvco 0 Z n Z X 1 1 1 n f 1 (t) dt= +t h 1 (t) dt 2 (k+ 1) 0 0 k=0 e)Onde´signealorsparMle maximum sur [0,1] de la fonctionh 1 . ´ Etablir, pour tout entier natureln´t:e,l’nie´agil Z n X 1 1M 06f 1 (t) dt−6 2 (k+ 1)n+ 1 0 k=0 Z ∞ X 1 1 1 , f)Justifierlaconvergencedelas´eriedetermege´ne´ralpuisl’´egalit´e:f(t) dt=∙ 2 2 n n 0 n=1

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