Mathématiques III 2005 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

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Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques III 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2005 sur Bankexam.fr.

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• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 115
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

EXERCICE Dans tout lexercice,Edésigne un espace vectoriel réel de dimensionn, avecn>2. Sivest un endomorphisme k0 deE, pour tout entier naturelk, on notevlendomorphisme déni par récurrence parv= Id, oùIdreprésente k+1k lendomorphisme identité, etv=vv. Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A. 2 Dans cette partie, on suppose que lentiernest égal à 2, et on considère un endomorphismefvériantf= 0et f6= 0.

1. Montrerquil existe un vecteurxdeEtel que(x; f(x))soit une base deE.   0 0 2. Endéduire que la matrice associée àf.dans, cette base est 1 0

Partie B. 2 Dans cette partie, on suppose quen= 4et on cherche à résoudre léquationu=Id, oùuest un endomorphisme deE. Soitfune solution de cette équation. 1. Montrerquil nexiste pas de scalairetel que léquationf(x) =xdinconnuex2E, admette une solution non nulle. 2. Soitxun vecteur non nul deEque la famille. Montrer(x; f(x))est libre. On noteFQuelle est la dimension dele sous-espace vectoriel engendré par cette famille.F?

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3. (a)Montrer quil existe une base deEde la forme(x; f(x); z 1 ; z 2 ). (b) SoitGle sous-espace vectoriel deEengendré par la famille(z 1 ; z 2 ); soityun vecteur non nul deG. Montrer que la famille(x; f(x); y; f(y))est libre. 0 1 001 0 1 0 0 0 B C 4. Montrerque dans une base bien choisie, la matrice associée àfsécrit : @ A 0 0 01 0 0 1 0

Partie C. On suppose dans cette partie, queEdésigne lespace vectorielR 3 [X]des polynômes à coe¢ cients réels, de degré inférieur ou égal à 3. On dénit surElapplicationfqui, à tout polynômePdeE, associéf(P)déni par 200 0 f(P)(X) = (1 +X)P(X)2XP(X) 0 00 oùPetPsont respectivement les dérivées première et seconde deP. 1. Montrerquefest un endomorphisme deE. 2 3 2. (a)Écrire la matrice associée àfdans la base canonique(1; X; X; X)deE. (b) Endéduire que lensemble des valeurs propres defestf0;2g. On noteE 0 etE 2 les sous-espaces propres associés respectivement aux valeurs propres0et2. (c) Déterminerune base deE 0 et une base deE 2 . (d) Lendomorphismefest-il diagonalisable ? 2 3. Onveut résoudre dans cette question, léquationu=fdans laquelle linconnueudésigne un endomorphisme deE. Soitgune solution de cette équation. 0 1 0 00 0 0 00 0 2 B C (a) Montrerquil existe une base deEdans laquelle la matrice associée àgsécrit : @ A 0 02 0 0 002 (b) Montrerquefetgcommutent, cest-à-dire que pour toutxdeE, on a(gf)(x) = (fg)(x). (c) Onsintéresse à la restriction degàE 0 . Montrerque lon dénit ainsi un endomorphisme deE 0 quon noterag 0 . Montrer de même que la restriction degàE 2 dénit un endomorphisme deE 2 quon noterag 2 . 4. Enutilisant les résultats des parties précédentes, donner la forme dune matrice associée àg.

PROBLÈME Partie I Dans cette partie,(a n ) n2N est une suite de réels strictement positifs, décroissante et de limite nulle. 2n2n+1n X X X k kk Pour tout entier natureln, on pose :u n = (1)a k ,v n = (1)a k ,s n = (1)a k . k=0k=0k=0 1. (a)Montrer que la suite(u n ) n2N est décroissante, et que la suite(v n ) n2N est croissante. (b) Montrerque, pour toutndeN,v n 6u n . Endéduire que la suite(u n ) n2N admet une limites, et que la suite(v n ) n2N admet la même limites. (c) Endéduire que la suite(s n ) n2N converge verss.

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n 2. Montrerque la série de terme général(1)a n , est convergente. +1 k k X (1) (1) 3. Montrerque la série de terme généralest convergente.On notesa somme. k+ 1k+ 1 k=0 n1 X n 1t k kn 4. (a)Établir, pour tout réeltpositif et pour toutndeN, légalité :(1)t=(1): 1 +t1 +t k=0 1 n Z X k n (1)t n (b) Endéduire que pour toutndeN:= ln(2)(1)dt k+ 11 +t k=0 0 +1 X k (1) (c) Endéduire la valeur de la somme. k+ 1 k=0 Partie II Deux amis, Pierre et Paul jouent au jeu suivant :ils possèdent une machine qui, à chaque sollicitation, leur donne aléatoirement un entier natureln; chaque sollicitation constitue une manche de ce jeu et :

si cet entiernest impair, Paul donnenon considère que Pierre gagne et que son gain estEuros à Pierre : égal à +n;

si cet entiernest pair, Pierre donnenEuros à Paul :on considère que Pierre perd et que son gain est égal à -n;

sin= 0, on considère que Pierre perd, et que son gain est égal à 0.

On considère un espace probabilisé(;A;P)qui modélise le jeu. SoitXla variable aléatoire correspondant au nombre obtenu lors dune sollicitation. 1. Onsuppose, jusquà la n de la question 5, que la loi de probabilité deXest dénie par  P(X= 0) = 0;et pour toutn >1 :P(X=n) = n(n+ 1) oùest un réel strictement positif. 1a b  (a) Déterminerdeux réelsaetbtels que, pour toutndeN: =+. n(n+ 1)n n+ 1 (b) Endéduire la valeur de.

2. (a)Calculer la probabilité que Pierre gagne une manche quelconque. (b) Calculerlespérance du gain de Pierre pour une manche. 3. Pierreet Paul e¤ectuent deux manches consécutives.On suppose que les résultats de ces deux manches sont indépendants. OnnoteYle gain cumulé de Pierre à lissue de ces deux manches. CalculerP(Y= 0),P(Y= 2)etP(Y=2). 1 Z ln(x) 4. (a)Montrer que lintégraledxest convergente. 2 1x 0  (b) Établir,pour tout réelxde]0; 1[et pour toutndeN, légalité : n 2n+2 X ln(x)xln(x) 2k =xln(x) + 2 2 1x1x k=0

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1 Z 2k (c) Montrerque pour tout entier naturelk, lintégralexln(x)dxconverge. 0 Exprimer en fonction dekla valeur de cette intégrale. 2 xln(x) (d) Montrerque la fonctionx7!, dénie sur]0; 1[, est prolongeable par continuité en 0 et en 1. 2 1x 1 Z 2n+2 xln(x) En déduire quelle est bornée sur [0; 1].Calculerlimdx: 2 1x n!+1 0 1 Z +1 X 2 xln(x) 1 (e) Endéduire légalité :dx=: 2 2 1x(2k+ 1) k=0 0 1 +1 Z 2 X 1ln(x) On admet que :=la valeur de. Calculerdx. 2 2 k6 1x k=1 0  5. (a)Déterminer trois réelsa,betctels que pour toutndeN, on ait légalité suivante : 1a bc = ++ 2 2 n(n(+ 1)n+ 2)n(n+ 1)n+ 2 (b) CalculerP(Y= 1). 6. Onsuppose dans cette question queXsuit une loi de Poisson de paramètre, ( >0).

(a) Calculer,en fonction de, la probabilité que Pierre gagne une manche. (b) Comparerla probabilité que Pierre gagne une manche à celle quil perde une manche. (c) Calculerlespérance du gain de Pierre pour une manche.

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