La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
EXERCICE 1 :probabilités et fonctions de deux variables
Cent boules, cinquante blanches et cinquante noires, sont réparties dans deux urnes notéesU1etU2. Onchoisit une urne au hasard puis on tire au hasard une boule dans lurne choisie.Lobjectif de cet exercice est de déterminer, si elle existe, la répartition pour laquelle la probabilité de tirer une boule blanche est maximale ainsi que la valeur de cette probabilité.
1. Justierquil existe une répartition des boules dans les urnes pour laquelle la probabilité de tirer une boule blanche est maximale.
2. Déterminerla probabilité de tirer une boule blanche dans le cas où les urnes sont composées de 20 boules blanches et 40 boules noires pour lune, 30 boules blanches et 10 boules noires pour lautre. On peut donc répartir les boules dans les urnes de telle sorte que la probabilité de tirer une boule blanche 1 soit strictement supérieure à. 2 3. Onnotexetyles nombres respectifs de boules blanches et noires contenues dans lurneU1(xetysont donc deux entiers compris au sens large entre 0 et 50).
(a) Déterminerla probabilitéf(x; y)de tirer une boule blanche (on distinguera lexpression générale, fonc-tion des entiersxety, des deux cas particuliers où lune des urnes est vide). (b) Justierque, pour tous entiersxetycompris au sens large entre 0 et 50, on a légalité :
f(50x;50y) =f(x; y):
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(c) Montrer,pour tout entieryde[0;50], linégalité : 1 f(0; y)6 2 et en déduire que la répartition des boules recherchée est telle quexappartient à[1;49]. 1 (d) Quellessont les répartitions pour lesquelles la probabilité de tirer une boule blanche est égale à? 2 4. Onnotenle nombre de boules contenues dans lurneU1(n=x+y). Montrer que lon peut se restreindre à des valeurs deninférieures ou égales à 50. En fait, on peut même se restreindre à des valeurs denstrictement comprises entre 0 et 50 car 1 f(0;0) = 4 1 et, daprès le résultat de la question3. d), la probabilité de tirer une boule blanche est égale àlorsquen 2 est égal à 50. 5. Onsuppose désormais que les variablesxetnvarient de façon continue dans lintervalle]0;50[et on dénit la fonctiongde deux variables sur]0;50[]0;50[en posant : x50x g(x; n) =+ n100n (a) Soitnun réel de]0;50[les variations de la fonction. Déterminerx7!g(x; n)sur lintervalle]0;50[et en déduire lentierxde]0;50[pour lequel le réelg(x; n)est maximum sous la condition :x6n. (b) Onpose, pour tout réelnde]0;50[: h(n) =g(n; n) 0 Déterminerh(n); dresser le tableau de variations de la fonctionhet en déduire la valeur de lentiern pour laquelleh(n)atteint son maximum. (c) Conclurerelativement à lobjectif de lexercice annoncé en introduction.
EXERCICE 2 :probabilités et informatique
On se propose détudier des algorithmes de simulation de lois de probabilité, écrits en langage Pascal.La procédure randomize initialise le générateur de nombres aléatoires.Une fois celle-ci appelée, les appels successifs à la fonction random simulent la réalisation de variables aléatoires indépendantes de même loi de probabilité uniforme sur]0;1[. Des programmes demandés, on nécrira que la partie «décisive »de lalgorithme, à limage du premier encadré de la page 3. Dans tout lexercice, on désigne par :
(; T; P)un espace probabilisé,
Uune variable aléatoire dedansPde loi de probabilité uniforme sur]0;1[,
Xla variable aléatoire dedansPdont on souhaite simuler des réalisations,
pun réel strictement compris entre 0 et 1,
nun entier naturel non nul.
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I Lois binomiales 1. (a)Ecrire un algorithme qui simule la réalisation dune variable aléatoireXqui suit la loi de Bernoulli de paramètrep. (b) Justier que lalgorithme ci-dessous simule la réalisation dune variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètresnetp. x:=0; for k:=1 to n do begin u:=random; if u<p then x:=x+1; end; write(x); Quel est le nombre dappels à la fonctionrandom? 2. Soientp1etp2des réels strictement compris entre 0 et 1.On pose :q1= 1p1etq2= 1p2. On e¤ectuenépreuves de Bernoulli indépendantes, de paramètresp1.Ydésignant le nombre de succès lors de cette première série dépreuves, on e¤ectueYépreuves de Bernoulli indépendantes, de paramètresp2. On sintéresse alors à la variable aléatoireXdonnant le nombre de succès dans cette seconde série dépreuves. (a) Terminerle programme de simulation de X ci-dessous. y:=0; for k:=1 to n do begin u:=random; if u<p1 then y:=y+1; end; x:=0; for k:=1 to . write(x); (b) i.Préciser la loi deYet lensemble des valeurs prises parX. ii. Soitiun entier compris au sens large entre 1 et n. Quelle est la loi deXconditionnée par lévénement(Y=i)? iii. Vérierque, pour tous entiersietjtels que :06j6i6n, on a légalité : n in nj = i jj ij
puis, pour tout entier j compris au sens large entre 0 etn, établir, en utilisant la formule des probabilités totales : n X n nj j ij ni P(X=j() =p p) (p q)q : 1 21 2 1 j ij i=j
iv. Aprèsavoir simplié le résultat précédent, reconnaître la loi deX. (c) Déterminerle nombre moyen dappels à la fonctionrandomdu programme de simulation deX.
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II Méthode dinversion
Cette méthode repose sur la détermination dune fonctionQtelle queQ(U)suive la même loi queX.
(On rappelle queUest une variable aléatoire de loi de probabilité uniforme sur]0;1[)
1.Loi exponentielle. Dans cette question,Xsuit la loi exponentielle de paramètrea(aréel strictement positif).
1 (a) Démontrerque les variables aléatoiresXetln(1U)ont la même fonction de répartition. a (b) Justieralors lalgorithme de simulation deXsuivant : u:=random; x:=-ln(u)/a; write(x);
2.Loi géométrique. Dans cette question,Xsuit la loi géométrique de paramètrep.
(a) Enconsidérant queXest le temps dattente du premier succès dans un processus de Bernoulli, écrire en langage Pascal un programme de simulation deXqui utilise une bouclerepeat. Quel est le nombre moyen dappels à la fonctionrandom? (b) La méthode précédente étant « coûteuse »pour les petites valeurs dep, on se propose décrire un nouvel algorithme qui nappelle quune seule fois la fonctionrandom. i. Onsuppose queY: !Rest une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètrea. Prouver que, pour tout entier naturelknon nul :
a k1a P(k16kY <) = (e) (1e):
En déduire que lon peut choisiratel queXet la variable aléatoireEnt(Y) + 1suivent la même loi (on rappelle queEntdésigne la fonction partie entière). ii. Ecrirelalgorithme correspondant.On rappelle quen langage Pascal, si une variablexcontient un réel positif ou nul,trunc(x)retourne la partie entière de ce réel. 3.Cas dune loi discrète nie. On suppose ici queXprend un nombre ni n de valeursx1; :::; xn, avecx1< x2< < xn. On pose :F0= 0et, pour tout entierkcompris au sens large entre 1 etn: pk=P(X=xk); Fk=P(X6xk): SoitQla fonction «en escalier »de]0;1[dansRdénie par : pour tout entierkcompris au sens large entre 1 etn,Q(u) =xksiFk1< u6Fk. Qest appelée la fonction quantile deX. (a) Vérierque, pour tout entierkcompris au sens large entre 1 etn, on a :
P(Q(U) =xk) =pk:
(b) Daprèsla question précédente,Q(U)etXont la même loi.Programmer une simulation deXrevient donc à trouver, pour une réalisationudeU, le dernier indicektel que :u > Fk1, et décider queX prend la valeurxk. i. Dansla situation représentée par le schéma ci-dessous, quelle est la valeur prise parX?
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ii. Enconsidérant que les variablesF[1],. . . ,F[n]dun tableauFcontiennent les valeursF ;:::; F 1n cellesT[1],. . . ,T[n]dun tableauTles valeursx1; :::;xn, compléter le programme de simulation deXci-dessous, et démontrer que le nombre moyenmde passages dans la bouclewhilevérie : k:=1; u:=random; while do ; x:= write(x);
4.Loi binomiale Dans cette question, on suppose queXsuit la loi binomialeB(2n;1=2).
(a)Un premier programme. On adapte le programme précédent (questionII 3.b) ii)) de simulation deXau cas de la loi binomiale B(2n;1=2). i.Démontrer que, pour tous entiers naturelsretmtels que :16r6m, on a : m mm1 = r rr1 2n P 2n2n En déduire légalité :k=n2. k k=1 ii. Exprimerle nombre moyenmnde passages dans la bouclewhileen fonction den. (b)Amélioration du programme. On pose dans cette question : 2n2n2n2n a0=; a1=; a2=; a3=; n n1n+ 1n2 2n2n2n a4=; :::; a2n1=; a2n= n0 2+ 2n 2n2n i.Démontrer que, pour tout entierkcompris au sens large entre 0 etn1:6. k k+1 En déduire les inégalités :a06a16 6a2n. ii. Pouraméliorer le programme précédent, on range dans lordre décroissant les probabilitésp0; p1; :::;p2n queXprennent les valeurs0;1; :::;2nen posant : 1 1 11 0 00 0 p=p=pa ;=p=a=a ; ; p=p= 0n0 1n1 1; p2=pn2+1 2n2na2n: 2n2n2n2n 2 2 22 k P 0 les variables successives du tableauFcontenant les nombresp(lentierkvariant de 0 à2n), et i i=0 les variables successives du tableauTcontenant les valeursn; n1; ; n+ 1; n2; n+ 2; :::;0;2n. 0 Préciser alors le nombre moyenmde passages dans la bouclewhileen fonction den; pour n cela, on admettra légalité : 2n X 1 2n 2n1 kak= 2n+ 2 2n k=0
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0 Enn, proposer un équivalent simple demquandntend vers+1en utilisant la formule de n Stirling : pn n n!2n : +1 e et conclure quant à lintérêt du réagencement des probabilitésp0; p1; :::; p2n.