Mathématiques pour l'image 2008 Génie Informatique Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Jmartin

Description

Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Mathématiques pour l'image 2008. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'image 2008 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2008

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 09 mars 2009
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

Utbm mt51Examen médianPrintemps 2008 Exercice 1 Etude de produits scalaires du plan vectoriel V 2 2 On rappelle que pour tout triplet de réels(a, b, c)vérifiant :a >0etb−ac <0, on définit un produit sur elation: scalaireϕ ,b,c) V 2 via la r (a (u 1 , v 1 ),(u 2 , v 2 )=au 1 u 2 +b(u 1 v 2 +v 1 u 2 ) +cv 1 v 2 . Un triplet(a, b, c)vérifiant les propriétés indiquées sera ultérieurement dit licite. 1.1Signification des produits scalairesϕ (a,b,c) a)Montrer que le produit scalaire euclidien ordinaire fait partie de la famille décrite ci-dessus. b)Décrire brièvement une situation des métiers de l’image qui conduit à l’utilisation d’autres produits scalaires. 1.2Orthogonaux de vecteurs donnés au sens deϕ (a,b,c) a)On donne pour cette sous question seulement : a= 1;b= 2;c= 8. •Vérifier que cette donnée définit un produit scalaire liciteϕ. (1,2,8) ⊥ •Déterminer alors[(1,−1)]ensemble des vecteurs deV 2 orthogonaux à(1,−1), au sens du produit scalaire associé aux réelsa,b,cchoisis. b)On suppose pour la suite, avoir démontré que pour tout triplet(a, b, c)licite, l’orthogonal du vecteur non nul(u, v)est donné par : ⊥ [(u, v)] ={x.(−(bu+cv), au+bv)/ x∈R}. 1.3Etudes d’orthogonaux pour unϕdonné (a,b,c) On choisit de nouveau pour cette sous question, le produit scalaireϕ. (1,2,8) ⊥ a)Déterminer[(1,0)]. ⊥ b)Déterminer[(0,1)]. ⊥ c)Déterminer[(1,−1)].   , on souhaite étudier des relations angulaires, don d)Dans le plan vectorielV 2 , ϕ (1,2,8) c on considère de façon simultanée, le produit scalaire euclidien ordinaire. ⊥ d1)Etude de[(1,0)] ⊥ •Montrer que tous les vecteurs non nuls de[(1,0)]forment un angle de même mesureα 1 , au signe près, avec(1,0). •Déterminerα 1 . d2)Mêmes questions adaptées pourα 2 lié à(0,1). d3)Mêmes questions adaptées pourα 3 lié à(1,−1). d4)Comparerα i . Est-ce étonnant géométriquement, au sens des remarques effectuées au 1.1 b). 1.4Approche inverse Dans le cadre d’une étude d’analyse d’image, on considère une image (plane...)produite lors d’un traitement donné sur le monde réel.On se propose d’interpréter des orthogonalités dans le monde réel par un produit scalaire judicieusement choisi dans le plan de l’image produite. .../...

1

a)On suppose disposer d’une primitive qui renvoie pour tout pointmdu plan image ses coordonnées(x, y) dans un repère donné.Comment fera-t-on pour définir des vecteurs du plan image ?

b)On se propose de chercher un produit scalaireϕlicite sur l’espace image qui représente le monde (a,b,c) réel.

Montrer qu’il existe un produit scalaire liciteϕsur le plan image qui traduit les orthogonalités suivantes (a,b,c) : (1,0)⊥(1,−1) ;(0,1)⊥(−4,1); (1,1)⊥(−5,2). Ce produit scalaire est-il unique ? c)Généralisation •Comment généraliser l’exemple précédent ?Quelles précautions prendre quant au choix des vecteurs orthogonaux ? •Quel est l’intérêt de la théorie développée ? Exercice 2 exemples élémentairesMatrices projectives:   −→−→ On rapporte le plan affine à un repère orthonormé directR=, jo, i. OnnoteBla base deV 2    −→−→−→−→ définie par :B=ji ,matrices projectives considérées sont relatives au repère. LesR=, jo, i, sauf indication contraire. 2.1Outil linéaire Fournir la matriceLdans la baseBde la symétrie vectoriellelde miroir la droite vectorielle engendrée par −→−→ le vecteuri+j.    −→−→ Nb : On évitera tout calcul inutile et on déterminera géométriquementl ietl j. 2.2Matrice projective d’une symétrie

On donne le pointa(−5,4)du plan affine rapporté àR.   −→−→ ′ a)Fournir la matrice projectiveSdans le repèreR’=a, i, jde la symétrie orthogonalesde miroir la −→−→ droite passant paraet dirigée par le vecteuri+j.   −→−→ b)En déduire la matrice projectiveSdans le repèreR=, jo, ides.

2.3Matrice de glissement   −→−→   a)Fournir la matrice projectiveTdans le repèreR=, jo, ide la translationt −→→− de vecteur 2. i+j   −→−→ 2. i+j.

  b)En déduire la matrice projectiveGde la transformationg=t →→−− ◦s. 2. i+j

c)Montrer matriciellement quegvérifie aussi :

  g=s◦t →−−→ . 2. i+j

Cette propriété est-elle étonnante géométriquement ?

2.4Etude des puissances deg

2 3 •Déterminergetg. •Généraliser.

2