Mathématiques spécifique 2004 Concours National DEUG

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Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mathématiques spécifique 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques spécifique 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
• Nombre de lectures: 148
• Langue: Français

Extrait

  SESSION 2004 

CONCOURS NATIONAL DEUG _______________  Epreuve spécifique concours Physique   MATHEMATIQUES  PARTIE II   Durée : 2 heures

 Les calculatrices sontautorisées.  NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.    +∞ Un calcul de lintégrale de Gauss, I= ∫ e −x 2 dx 0 

Le but du problème est de calculer lintégrale de Gauss,

+∞ 2 = ∫ e −x dx en utilisant une suite de 0

2 fonctions qui converge versxae −x .  Les deux premiers paragraphes sontindépendants, le troisième paragraphe utilise les résultats démontrés dans les deux paragraphes précédents.   Questions préliminaires  1.Montrer que lintégraleIest bien définie.  2.On définit sur [ 0,1 [ la fonctionΨparΨ(t)=t+ln(1−t) . a.Etudier les variations et le signe deΨ. b.Donner le développement limité à lordre 2 en 0 deΨ.   I. Un équivalent des intégrales de Wallis et une application  Pour tout entier naturelndéfinit la suite des intégrales de Wallis, on  ( n  :) par π



2 . n = ∫ sin n xdx 0

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3. Une relation de récurrence a.Calculer 0 et 1 . b. (Justifier que n  une suite de réels strictement positifs.) est n = n n . c.Montrer que pourn≥1, on a +1 n+1 I −1

4.Pour tout entier naturel non nuln, on définit la suite (u n ) paru n =nI n−1 I n .



duire u= . q e − Montrer que (u n  une suite constante et en dé) estI n1 I n 2n 

5. Equivalent deI n  a.Montrer que pourn≥1, on a n+1 ≤I n ≤I n−1 . b.En déduire que n I n−1 . +∞ c. (Donner alors un équivalent de n ) à linfini.

6. Application :

Pour tout entier natureln (non nul, on définit la suiteJ n ) parJ n = ∫ n    1− x 2    n dx. 0 n π

2 a.Montrer que pourn≥1,J n =n ∫ sin 2n+1 (x) dx. 0 b.En déduire la limite de (J n ) en∞.    II. Intégration sur un intervalle non borné de la limite dune suite de fonctions  Si ( n ) est une suite convergente de fonctions définies sur lintervalle non borné [ 0, [ ∞, on souhaite trouver une condition suffisante pour pouvoir permuter limite et intégrale, cest-à-dire +∞ +∞ e but du paragraphe est donc de donner cette condition avoir n li →+ m ∞ ∫ n (x) dx= ∫ n li →+ m ∞ f n (x) dx. L 0 0 suffisante.   A - La convergence uniforme est insuffisante  7.Pour tout entier naturelnnon nul, on définit sur [ 0,∞ [ la suite de fonctions (g n ) par : 

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g n (x)       −=  0 x n x n 2 2 + n is is s  2 x x x [ [ ∈ ∈ ∈ n, 0 2 ,n n 2 [ n ∞ [ +    i [ , [ a.Représenter le graphe deg 2 . +∞ b.Soitn≥1, montrer queg n est continue sur [ 0, [ +∞et calculer ∫ g n (x) d 0 des considérations géométriques. c. (Montrer que la suiteg n ) converge uniformément sur [ 0,+ [ ∞vers la fon +∞ +∞ t-on n li → m +∞ ∫ g n (x) dx= ∫ n li →+ m ∞ g n (x) dx? 0 0

xen utilisant

ction nulle. A-

B - Une condition suffisante : convergence uniforme sur tout segment et domination  Soit (f n ) n≥1  une suite de fonctions continues sur [ 0, [ ∞ qui converge uniformément sur tout segment [ 0,ainclus dans [ 0,+ [ ∞aveca> une fonction0 versf. On suppose en plus que la suite ( n ) est dominée, cest-à-dire quil existe une fonctiong +∞ continue sur [ 0, [ ∞+telle que ∫ g(x) dxconverge et telle quen≥1,f n ≤g. 0  +∞ 8.Montrer quefest continue sur [ 0,+∞ [ et que ∫ (x) dxconverge. 0  9.Soit>0 . +∞ a.On définit sur [ 0, [ +∞ parla fonctionϕ(t)= ∫ g(x) dx. t  Déterminer la limite de en∞ justifier lexistence dun réel puisA> que0 tel +∞ ∫ g(x) dx<. A 4 +∞A b.En déduire que pour toutn≥1, ∫ f n (x)−f(x) dx≤ ∫ f n (x)−f(x) dx+ 2 . 0 0 +∞ +∞ c. liEn déduire que → m +∞ ∫ n (x) dx= ∫ f(x) dx. n 0 0

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III. Application au calcul de lintégrale de Gauss

Pour tout entier natureln non nul, on définit sur [ 0,+∞ [  la ( suite de fonctions n ) par : x n =       1− x 2    n si   ∈0,   f x  n n ( )    0 six  ∈  n,   ∞+ 2 x On note aussif la fonction définie sur [ 0, [ ∞+parf( )=e −x .  10.Soitxun réel strictement positif. a.Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, on a n (x)≤f(x pourra utiliser la) (on fonctionΨ). −=   − n Ψ   x 2      b.Montrer que pour tout entiernvérifiantn>x 2 , on af n (x)f(x) e -x 2   1 e n   . c. (En déduire que la suite de fonctions n  sur) converge simplement vers la fonction [ 0,∞+ [ .

11.Soitaun réel strictement positif.  Montrer que la suite ( n  uniformément sur) converge [ 0,aversf.

+∞ 12.En déduire que e −x d ∫ 2 0   

= n lim ∫ 0 n    1− x 2    n dxpuis conclure quant à la valeur deI. →+∞ n



Fin de lénoncé.