Mécanique commune 2003 Concours National DEUG

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Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mécanique commune 2003. Retrouvez le corrigé Mécanique commune 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MECANIQUE PARTIE I Durée : 2 heures Les calculatrices sontautorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Avertissement : Tousles résultats numériques sont demandés dans un format scientifique avec 3 une précision au millième (exemple : 1,623.10) et en unité S.I., unité qui est à préciser. Exercice 1 : Etude d’un pendule Un pendule (S) est constitué d’une plaque en forme de demidisque de rayon r, de masse volumiqueµ, d’épaisseur e constante, négligeable devant les autres dimensions. ( )

z 0

O

G

Pendule (S) x 0 θ x 1

y 1

y 0

Tournez la page S.V.P.

2

→ → → Le référentiel terrestreℜest considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère ), z, y(O, x . 0 0 0 0 Le référentielℜest associé à l’axe (∆). 0 → → → → → On noteℜ) telqueréférentiel rapporté au repère orthonormé direct(O, x, y, z lez=z. Le 1 11 11 0 → → → → → → repère (O,x ,y ,z ), rigidement lié au pendule (S), se déduit à chaque instant de), y, z(O, x 1 1 10 0 0 → par une rotation d’angleθautour de l’axe O z . 0 Le pendule (S) est mobile sans frottement autour de l’axe (∆). A l’instant t = 0, on écarte le pendule (S) de sa position d’équilibre stable d’un angleθ 0 puis on le lâche sans vitesse initiale. → →→ On noteR=X x+la réaction de l’axe (Y y∆) sur le pendule (S) et I le moment d’inertie du 1 1 pendule (S) autour de l’axe (∆). → On notegx l’accélérationde la pesanteur. 0 1.1 Déterminerdans ℜ les coordonnées du centre de gravité G du pendule (S). 1 1.2 Exprimerla masse M du pendule (S) en fonction deµ, r et e. → 1.3 Déterminerla vitesse V(G∈S /ℜ)  dupoint G lié au pendule (S) par rapport àℜ 0  et 0 l’exprimer dansℜ 1 . → 1.4 Déterminer l’accélération Γ(G∈S /ℜ) point G lié au pendule (S) par rapport à duℜ 0  et 0 l’exprimer dansℜ 1 en fonction de r, θ et de ses dérivées successives par rapport au temps. →   d P(S /ℜ)  0  1.5 Exprimerdansℜ 1 la résultante dynamiquedu pendule (S) par rapport àℜ 0 .   dt   ℜ 0 → 1.6 Déterminerdansℜ 1 P sur le pendule (S). l’action de la pesanteur 1.7 Enoncerle théorème de la résultante dynamique et l’appliquer au pendule (S). → 1.8 Endéduire les coordonnées X et Y de la réactionde l’axe (∆) sur le pendule (S). → → 1.9 Déterminerdansℜ 1 M (O)de l’action de la pesanteurP aupoint O.le moment P → 1.10 Exprimerdansℜ 1 le moment cinétiqueL (S/ℜ)du pendule (S) par rapport àℜ 0 au point O 0 O en faisant l’hypothèse que l’opérateur d’inertie du pendule au point O est diagonal. 1.11 Enoncerle théorème du moment cinétique et l’appliquer au pendule (S) au point O.

3

1.12 Endéduire l’équation du mouvement du pendule (S). 1.13 Déterminerl’énergie cinétiqueT(S /ℜ) dupendule (S) dans son mouvement par rapport au 0 référentielℜ 0 . 1.14 Déterminerle travail W ext des forces extérieures appliquées au pendule (S) entre une position quelconque du pendule définie par l’angleθet sa position d’équilibre stable. 1.15 Enoncerle théorème de la variation d’énergie cinétique dans le cas d’un solide unique indéformable. 1.16 Retrouverrapidement l’équation du mouvement du pendule (S). 1.17 Intégrercette équation dans le cas où l’angleθreste assez petit au cours du temps. 1.18 Déterminerdans ce cas la période T des oscillations en fonction de M, I, g et r. 1.19 Applicationnumérique :Calculer la période T des oscillations sachant que r = 50 mm, 3 52 2 e = 2 mm,µg = 9,81m.s., I = 1,9.10kg.m et= 7800 kg.m 1.20 Quelleest, en fonction de I, M et r, la longueur du pendule simple synchrone ? Exercice 2 : Etude d’un équilibre relatif Une tige OP, de longueur a, tourne autour du point O à vitesse angulaireωconstante dans un plan horizontal. Un point matériel M de masse m est mobile sans frottement dans ce plan horizontal. → → → Le référentiel terrestreℜest considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère , y(O, x), z . 0 00 0 Le référentielℜest fixe. 0 → → → → → On note ℜ  leréférentiel rapporté au repère orthonormé direct, z) tel(O, x, yquez = z. Le 1 11 11 0 → → → → → → repère (O,x ,y ,z ), rigidement lié à la tige OP, se déduit à chaque instant de(O, x, y, z)par 1 1 10 0 0 → une rotation d’angleθautour de l’axeO z. 0 → → →→ → On note ℜ , z, yque z) tel le(P, xréférentiel rapporté au repère orthonormé direct=Lez . 2 22 22 1 → → → →→ repère (P,x ,y ,z )est tel quePx soitcolinéaire à PM  etse déduit à chaque instant de 2 2 2 2 → → →→ (P, x, y, z) parune rotation d’angleαP z.autour de l’axe 1 1 11 → →→ → • On noteOP=a x, PM=etr xω=θ. 1 2 → → Le point M est rappelé vers le point P par un ressort exerçant sur le point M une forceF= −.kr x 2 On néglige les actions de la pesanteur.

Tournez la page S.V.P.

y 1

y 0

y 2

4

P

x 2

M

x 1

θ O x 0 → 2.1 Déterminer la vitesseV(M /ℜ)du point M par rapport àℜ 0 et l’exprimer dansℜ 2 . 0 → iner l’accélératℜ 2.2 DétermionΓ(M / 0 ) dupoint M par rapport àℜ 0  etl’exprimer dansℜ 2  en fonction de a, r, ω ,αet de ses dérivées successives par rapport au temps. 2.3 Ecrire sous forme vectorielle le théorème de la résultante dynamique appliquée au point M. 2.4 Endéduire les 2 équations du mouvement du point M donnant les paramètres r et α  en fonction de ω . 2.5 Déterminer les équilibres relatifs M 1 et M 2 du point M par rapport à la tige OP, c’estàdire les solutions r et α constantes. A quelles conditions existent ils ? 2.6 Sans démonstration, quels sont les équilibres stables ? Fin de l’énoncé