SESSION 2005 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MECANIQUE PARTIE I Durée : 2 heures
Les calculatrices sontautorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.Avertissement: Tous les résultats numériques sont demandés dans un format scientifique avec une -3 précision au millième (exemple : 1,623.10) et en unité S.I., unité qui est à préciser. Exercice 1 : Système bielle - manivelle Un système bielle-manivelle est un mécanisme qui se compose de 3 pièces : → - Unvilebrequin (1) mobile en rotation autour de l’axeO zpar rapport au bâti (0). 0 → - Unpiston (3) mobile en translation suivant l’axeB xpar rapport au bâti (0). 0 - Unebielle (2) articulée en A avec le vilebrequin (1) et en B avec le piston (3). x y0 2 x1
y1
A Vilebrequin (1) y2 θ Bielle (2)
O
Bâti (0)
B
β
Piston (3)
x0
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Ce mécanisme équipe les moteurs thermiques et les compresseurs. Il permet de transformer la → → translation d’axeB xdu piston (3) en une rotation d’axeO zdu vilebrequin (1) (cas des moteurs 0 0 thermiques) ou l’inverse (cas des compresseurs). → → → Le référentiel terrestreℜ(O, xest considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère, z, y) . 0 00 0 Le référentielℜest associé au bâti (0). Il est supposé fixe. 0 → → →→ → On noteℜque z) tel, z, y(O, xréférentiel rapporté au repère orthonormé direct le=z .Le 1 11 11 0 → → →→ → → repère (O,x ,y ,z ), rigidement lié au vilebrequin (1), se déduit à chaque instant de(O, x, y, z) 1 11 00 0 → par une rotation d’angleθautour de l’axeO z. 0 → → →→ → On noteℜLez .que z) tel, z, y(B, xle référentiel rapporté au repère orthonormé direct 2 22 22 0 → → →→ → → repère (B,x ,y ,z ), rigidement lié à la bielle (2), se déduit à chaque instant de(B, x, y, z) par 2 2 20 0 0 → une rotation d’angleβB zautour de l’axe. 0 → → →→ 1A2 On noteOA=et ABr x= −y . → → 1 Le centre de gravité G de la bielle (2) est tel queAG=AB . 3 → • Le vilebrequin (1) tourne autour de l’axeO zà la vitesse angulaireθconstante. 0 1.1En considérant que tous les solides sont indéformables, déterminer une relation simple donnant → → A0 βen fonction deθOB. yen exprimant que, r et=0 . • • A 1.2En déduire une relation donnantβen fonction deθ,θ, r et. On désire maintenant connaître la loi d’entrée sortie du système bielle-manivelle, c’est-à-dire la loi qui relie la vitesse de translation du piston (3) à la vitesse de rotation du vilebrequin (1). → 1.3Déterminer la vitesseV(B∈3 / 0)du point B appartenant au piston (3) par rapport au bâti (0) et • 0A l’exprimer dansℜen fonction deθ,θ., r et
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Exercice 2 : Recul d’un canon Un canon au repos, de masse M, tire horizontalement un obus de masse m avec une vitesse initiale → → v=v x . 0 00 y0
L0
Canon Obus
x0
Ressort Position initiale x du canon → → 2.1lancement decanon en fonction de la vitesse initialev deDéterminer la vitesse de reculv du C 0 l’obus. 2.2Déterminer l’énergie cinétique Eode l’obus à la sortie du canon ainsi que l’énergie cinétique Ecdu canon en fonction dev . 0 Pour limiter la course de recul du canon, on utilise un ressort de raideurk ,de longueur libreL 1 0 dont l’une des extrémités est fixe et l’autre liée au canon. → 2.3Déterminer la forceFexercée par le ressort sur le canon en fonction de la distance x. 2.4v laEn appliquant le théorème de l’énergie cinétique au canon, déterminer en fonction de 0 raideur minimalek quedoit posséder le ressort pour limiter le recul à une distance d. 1 En réalité le ressort est remplacé par un système hydraulique composé d’un ressort et d’un amortisseur hydraulique. y0 L0 Ressort Canon Obus
x0
x Position initiale Amortisseur hydraulique ducanon 2.5En considérant que l’amortisseur hydraulique absorbe une partie Eal’énergie cinétique de de recul du canon, déterminer en fonction dev laraideur minimalek quedoit posséder le 0 2 ressort pour limiter le recul à une distance d. 2.6: CalculerApplication numériquek sachantk etque v0600 m/s, M = 800 kg, m = 2 kg, = 1 2 d=1 met Ea= 450 J. Tournez la page S.V.P.
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Exercice 3 : Solide de révolution tournant autour d’un axe vertical → x1 Un solide de révolution (S) d’axeO z, de masse m, est fixé sans 1 frottement au point fixe O. Le solide (S) tourne autour de l’axe → O zà la vitesse angulaireωconstante. On ne s’intéressera ici qu’à 0 x0 O•• • l’état stationnaire du solide (S), c’est-à-dire lorsqueα=α=0 . Le référentiel terrestreℜ estconsidéré comme galiléen ; il est 0 Solide (S)→ → → rapporté au repère(O, x, y, z) . Le référentielℜest fixe. 0 0 00 On noteℜ leréférentiel rapporté au repère orthonormé direct 1 G→→ →→ → → (O, x, y, z) telque xsoit contenu dans le plan(O, z, z) .Le 1 11 10 1 → → → repère (O,x ,y ,z ) estrigidement lié au solide (S). 1 11 → → Le centre de gravité G du solide (S) est tel queOG=.a z 1 → → On noteαet Oz .l’angle entreO z z0 1 1 α→ → On noteg=g zl’accélération de la pesanteur. z00 → On note A le moment d’inertie du solide (S) autour de l’axeO xet C le moment d’inertie du solide 1 → (S) autour de l’axeO z. 1 → 3.1Déterminer la vitesse de rotationΩ(S /ℜ) dusolide (S) par rapport àℜet l’exprimer dans 0 0 ℜ. 1 → 3.2En déduire le moment cinétiqueL (S/ℜ) dusolide (S) par rapport àℜpoint O et au O 00 l’exprimer dansℜ. 1 → 3.3Déterminer dansℜl’action de la pesanteurPexercée sur le solide (S). 1 → → 3.4Déterminer dansℜde l’action de la pesanteurM (P)le momentPau point O. 1 O 3.5Enoncer le théorème du moment cinétique. → d L(S /ℜ) O 0 3.6Déterminer le moment dynamiqueet l’exprimer dansℜ. 1 dt ℜ 0 3.7Appliquer le théorème du moment cinétique au solide (S) au point O. En déduire une relation donnant l’angleαen fonction de m, g, a ,ω, A et C. 3.8Discuter des valeurs de l’angleαsuivant la valeur deω. π 3.9Peut-on obtenirα >? 2 Fin de l’énoncé