Mécanique et technologie pour l'ingénieur 2005 Génie Mécanique et Conception Université de Technologie de Belfort Montbéliard

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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Mécanique et technologie pour l'ingénieur 2005. Retrouvez le corrigé Mécanique et technologie pour l'ingénieur 2005 sur Bankexam.fr.

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• Publié le: 16 avril 2007
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1/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 Marianne joue à la balle 5 exercices indépendants - Durée : 2 h - Documents autorisés 1 - Marianne lance sa balle Dans cet exercice, la balle de Marianne est considérée comme un point pesant de masse M. Marianne est debout sur le point O, origine d'un repère (O, i , j , k) , dans lequel un point possède les coordonnées x, y et z. Nous sommes sur terre, dans un champ de pesanteur uniforme, dont l'accélération est G1 %g k . Avant de la lâcher, Marianne impose à sa balle une accélération constante, depuis l'immobilité jusqu'à une vitesse V , le long d'un parcours rectiligne de longueur L inclus 0 dans le plan x1j , ce qui implique0 et positif avec le vecteur horizontal faisant un angle que l'angle ( j , V ) a la même valeur . 0 L'énergie de la balle est considérée comme nulle au départ de ce parcours imposé par le bras de Marianne. Au moment où la balle est lâchée, quelles sont ses énergies cinétique et potentielle de pesanteur ? Quelle quantité d'énergie Marianne a-t-elle fourni à la balle ? En supposant qu'elle a appliqué un effort constant, quelle est la valeur de cet effort ? Quelle est la valeur de l'accélération ? Combien de temps dure ce lancement, entre l'instant où Marianne met sa balle en mouvement et l'instant où elle la lâche ? Tous ces résultats seront exprimés littéralement, puis calculés pour les valeurs numériques suivantes :  M1100 g  V110 m / s 4 / 0 2  g19,81 m / s  L180 cm 1 - Corrigé Energie cinétique acquise par la balle : 1 2 E1M V C 0 2 Energie potentielle de pesanteur acquise par la balle : U M g z U M g L sin

Energie fournie à la balle : E1E#U C 2 V 0 E1M (#g L sin ) 2

P

F M

F B

CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005

2/12

 P L'effort F vu par la balle est la résultante de son poids P et de l'effort F exercé par la B M main de Marianne. F1P#F B M Ou : F1F%P M B Le travail de P est égal à l'augmentation de l'énergie potentielle de pesanteur de la balle. Le travail de F est égal à l'augmentation de l'énergie cinétique de la balle. B 1 2 F L1M V B 0 2 2 M V 0 F1 B 2 L Relation fondamentale de la dynamique appliquée à un point : F1M B 2 V 0 1 2 L Soit s la distance parcourue le long de la ligne de lancement. 1 2 s1t 2 2 L Pour s1tL , 1

Autre façon d'arriver au même résultat : V 0 V1 t t , d'où 1 pour s1L .

2 L t1 V 0 Effort exercé par la main de Marianne. F1F%P M B

3/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 Calcul du module de cet effort : 2 2 2 F1F#P%2 F P cos(#) M B B 2 2 2 F P F M 1 B # #2 F B P sin Calcul de l'angle entre F et F , en projetant les efforts sur un axe perpendiculaire au M B trajet de la balle : F sin1P sin M 1 % 2 P sin1cos F M  P  1Arc sin  cos  F  M  On peut vérifier que le travail de F , dans son déplacement le long du parcours de la balle, M est bien égal à E, augmentation de l'énergie totale de la balle. E 1F M L cos Application numérique : E1F5,00 J 1F6,25 N 16,98 N C B M 2 U10,55 J162,5 m / s15,70° E15,55 J t10,160 s 2 - La balle de Marianne décrit une trajectoire Dans cet exercice, la balle de Marianne est considérée comme un point matériel. Marianne est debout sur le point O, origine d'un repère (O, i , j , k) , dans lequel un point possède les coordonnées x, y et z. Nous sommes sur terre, dans un champ de pesanteur uniforme, dont l'accélération est G1 %g k . L'effet de l'air sur la balle est considéré comme négligeable. A l'instant t 0 , Marianne lance sa balle au point (y , z ) avec une vitesse initiale V , de 0 0 0 module V , incluse dans le plan ( j , k) et faisant un angle1, V ( j avec le) positif 0 0 vecteur j . Ecrire les équations décrivant la trajectoire de la balle sous la forme :  y1y(t)  z1z(t) 

4/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 Comment s'appelle la courbe décrite par la balle ? Au bout de combien de temps la balle atteint-elle son altitude maximale ? Quelle est cette altitude ? Au bout de combien de temps la balle retombe-t-elle sur le sol (plan z10 ) ? A quelle distance des pieds de Marianne la balle retombe-elle sur le sol ? Tous ces résultats seront exprimés littéralement, puis calculés pour les valeurs numériques suivantes : 2  1  / 4  g19,81 m / s  z 0 1,80 m  y10 V110 m / s 0 0 2 - Corrigé Equations définissant la trajectoire de la balle dans le plan x 0 :  y1cosV t #y 0 0   1 2 z1 %g t#V t sin#z 0 0   2 La courbe décrite par un projectile dans un champ de pesanteur uniforme est une parabole. L'altitude z est maximale à l'instant t où sa dérivée par rapport au temps s'annule. 1 dz 10 dt %g t#V sin10 1 0 V sin 0 t 1 1 g L'altitude maximale atteinte z s'obtient en reportant cette valeur de t dans l'expression Max de z. 2 1  V sin   V sin  0 0 z1 %g   #V   sin#z Max 0 0 2 g g     2 2 V sin 0 z1 #z Max 0 2 g La balle retombe au sol au bout d'un temps t tel que : 2 1 2 %g t#V t sin#z10 2 0 2 0 2 C'est une équation du second degré qui a 2 solutions. La plus petite des 2 correspond à l'intersection de la parabole avec le sol derrière Marianne, où la balle n'était pas encore sur sa trajectoire.

5/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 On ne doit donc retenir que la plus grande des racines.   V sin 2 g z 0 0   t11#1# 2 2 2   g V sin   0 La distance parcourue d s'obtient en reportant cette valeur dans l'expression de y. 2   V sin cos 2 g z 0 0   d1y#1#1# 0   2 2 g V sin   0 Application numérique : t10,72 s t11,66 s 1 2 z14,35 m d111,8 m Max 3 - Comment atteindre Marlène depuis une voiture ? Dans cet exercice, la balle de Marianne est considérée comme un point matériel. Marianne est à l'arrière d'une voiture qui passe devant la maison de son amie Marlène, qui se trouve justement à une fenêtre du premier étage. Marianne veut lancer sa balle à Marlène. Un repère fixe (O, i , j , k) , dans lequel un point possède les coordonnées x, y et z est installé sur la route, juste en face de la maison de Marlène, qui se trouve donc dans le plan x10 . La route est rectiligne, colinéaire à l'axe ( O, i ) . Nous sommes sur terre, dans un champ de pesanteur uniforme, dont l'accélération est G1 %g k . L'effet de l'air sur la balle est considéré comme négligeable. Un repère mobile (O , i , j , k) , dont les vecteurs de base sont parallèles à ceux du repère V fixe, est solidaire de la voiture. La voiture roule sur la route avec une vitesse constante V . V V1 %V i V V A l'instant t 0 , Marianne, assise dans la voiture, lance sa balle au point de coordonnées (0, y , z ) dans le repère mobile, avec une vitesse initiale V , de module V , incluse dans 0 0 0 0 le plan ( j , k) et faisant un angle1( j ) positif , V j .avec le vecteur 0 A ce moment-là, la voiture est à la distance D, comptée le long de la route, de la maison de Marlène. Plus précisément, dans le repère fixe il y a un écart de D entre la coordonnée x de la main de Marianne et la coordonnée x des mains de Marlène. A l'instant t1t , la voiture passe devant la maison de Marlène, les mains des 2 fillettes sont 1 dans le même plan (O, j , k)

6/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 Déterminer le vecteur vitesse de la balle en vol, en fonction du temps, dans le repère mobile lié à la voiture et dans le repère fixe lié à la route. Ecrire les équations décrivant la trajectoire de la balle dans le repère fixe sous la forme :  x1x(t)  y1y(t)   z1z(t)  Les mains de Marlène se trouvent en un point repéré par les coordonnées (0, y , z ) dans 1 1 le repère fixe. L'équation de la projection de la trajectoire de la balle dans le plan (O, j ,k) peut se mettre sous la forme z1f(y) . L'angle étant imposé, utiliser cette expression pour calculer la vitesse de lancement V 0 nécessaire pour que la balle atteigne les mains de Marlène. Le résultat s'exprime en fonction de y , z , y , z , et g. 0 0 1 1 Quelle aura été la durée de vol de la balle ? A quelle distance D de la maison de Marlène (distance suivant l'axe x, le long de la route) Marianne aura-t-elle dû lancer la balle pour qu'elle atteigne son but ? Marianne pourrait-t-elle lancer sa balle à Marlène quelle que soit la hauteur z où elle se 1 trouve dans sa maison, la façade de la maison étant toujours dans le plan y1y ? 1 Sinon, pour quelle altitude maximale z des mains de Marlène (dépendant de y ) est-ce 1Max 1 théoriquement possible ? Quelle devrait alors être, ou vers quelle limite devrait alors tendre la vitesse de lancement V ? 0 Ces résultats seront exprimés littéralement, puis calculés pour les valeurs numériques suivantes : 2 0 y  y110 m  g1s9,81 m / 0 1 1 V 0  z14 m  V 13 km / h  z11,50 m 1 0 1/ 4 3 - Corrigé Le repère mobile étant en translation uniforme par rapport au repère fixe, il n'y a pas d'accélération d'entraînement ou de Coriolis. L'accélération dans le repère mobile est donc la même que dans le repère fixe, soit G1 %g k D'où, par intégration en fonction du temps, le vecteur vitesse V dans le repère mobile. R  0    V R 1  V 0 cos    V sin %g t  0 

7/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 La vitesse de la balle par rapport au repère fixe, ou vitesse absolue, est la somme de sa vitesse par rapport au repère mobile, ou vitesse relative, et de la vitesse d'entraînement, qui, dans notre cas, est la vitesse de la voiture V . V V1V#V A R V  %V  V   V1  V cos  A 0   V sin%g t   0 D'où les équations décrivant la trajectoire de la balle dans le repère fixe, après intégration et en tenant compte des conditions initiales à l'instant t10 .  x1 %V t#D  V  1c#y  y V 0 t os 0  1 2 z1 %g t#sinV t #z  0 0  2 Pour écrire z en fonction de y, il faut éliminer t entre les expressions de y et z. y%y 0 t1 V cos 0 2 1  y%y  0 z   # ( % ! # 1 %yg y 0 tan z 0 2 V cos  0  Pour que la trajectoire décrite par cette courbe passe par le point ( 0, y , z ) , il faut que : 1 1 2 1  y%y  1 0 z1 %g   # ( y%y ! tan#z 1 1 0 0 2 V cos  0  D'où V en fonction des autres paramètres : 0 ( y%2 gy ) 1 0 V 0 1 2 cos ( y%tany ) %z#z ) 1 0 1 0 La durée du vol t est donnée par l'expression de t en fonction de y déjà vue, appliquée à vol y1y . 1 y%y 1 0 t1 vol V cos 0

t1 vol

( y%tany ) 1 0

%z#z 1 0

2 g

8/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 La distance D découle de la variation de la coordonné x de la balle en fonction du temps. La balle accompagne la voiture dans la direction x le long de la route, le temps de vol de la balle est donc le même que le temps t mentionné dans l'énoncé. 1 x1 %V t#D V 01 %V t#D V vol 2 D1yV ( %y ) tan%z#z V 1 0 1 0 g Pour qu'une solution V existe, il faut que la racine carrée qui apparaît dans la formule 0 existe, donc que : ( y%y ) tan%( z%z )³0 1 0 1 0 y étant fixé, l'altitude maximale d'un point accessible, z , est la valeur qui annule cette 1 1Max expression. z1z#( y%tany ) 1Max 0 1 0 Si z tend vers z , le dénominateur du rapport qui donne V tend vers 0. 1 1Max 0 Il faudrait donc que la vitesse de lancement V tende vers l'infini pour que le point 0 ( 0, y , z ) soit approché, au bout d'une trajectoire parabolique qui tendrait vers une 1 1Max droite. Application numérique : V1t11,4 m / s 11,24 s 0 vol D110,3 m z111,5 m 1Max 4 - Marianne observe sa balle en vol La balle de Marianne est une sphère homogène. Elle possède une masse M et un moment d'inertie I par rapport à un axe quelconque passant par son centre de gravité (la symétrie de la balle sphérique homogène implique que tous les axes passant par son centre sont équivalents). L'espace est muni d'un repère fixe (O, i , j , k) , dans lequel un point possède les coordonnées x, y et z. Le centre de gravité G de la balle décrit une trajectoire définie par l'évolution de ses coordonnées fonction du temps t.  x10 G   y1V t  G 1  2  z1k t#V t  G 2 D'autre part, une rotation de la balle est définie par un vecteur , de module , porté par un axe contenu dans le plan (G, i , k) et faisant un angle1i .le vecteur ( i , ) avec

9/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 Exprimer, dans le repère fixe, en fonction du temps t et des paramètres M, I, V , V , k, et : 1 2 torseur cinématique de la balle en G, Le  Le torseur cinétique de la balle en G,  Son énergie cinétique. Exprimer également, en fonction des mêmes paramètres, ainsi que de R, le rayon de la balle, les torseurs cinématique et cinétique en un point P de la surface de la balle défini par : GP1.R j 4 - Corrigé La résultante du torseur cinématique est le vecteur rotation du solide. Le moment résultant au point G est sa vitesse, dont les composantes sont obtenues par dérivation, par rapport au temps, des équations de sa trajectoire.  cos   0          { } 1 1et V1V V G   avec  0  G  1   V   G     sin 2 k t#V     2 La résultante du torseur cinétique, ou somme cinétique, s'exprime en fonction de la masse M et de la vitesse V du centre d'inertie G. G Sc1M V G Le moment cinétique au barycentre G choisi comme origine du repère lié au solide s'exprime en fonction du vecteur rotation et de son opérateur d'inertie en G, I . G 1I G G Compte tenu de la symétrie d'une sphère, tous les axes passant par son centre sont des axes principaux d'inertie.  0I 0    10 I 0 I G     0 0 I   I1I G  0   I cos         S  C { C } 1avec S1etM V 10 G   C  1  G      G     M ( 2 k t#V ) I sin  2   L'énergie cinétique de la balle peut être calculée en fonction du comoment de ces 2 torseurs, exprimé au point G. 1 E1 { C } . { V } C 2 1 E1(S .V#. ) C C G G 2

10/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 2 2 1 E1( M V#I ) C G 2 1 2 2 2 M ( V ( 2 k V ) ) I ] E C 1 1 # # 2 # 2 Le vecteur vitesse en P, moment résultant du torseur cinématique, est déduit de la propriété générale des moments des torseurs. V1V# ÙGP P G  0   cos   0        V1  V  #  0  Ù  R  P 1       2 k t#0V sin       2  cos   %R sin          { } 1 1et V1V V P   avec  0  P  1   V   P     sin 2 k t#V#R cos    2  De même pour le moment cinétique. 1 #SÙGP P G C  I cos   0   0        0# Ù P 1   M V 1   R        I sin M ( 2 k t#V ) 0    2     0   I cos%2 k tM R ( #V )  2        S  C { C } P 1avec S1etM V 10   C  1  P      P     M ( 2 k t#V ) I sin  2    On peut vérifier sur cet exemple l'invariance du comoment, qui fait que le calcul de l'énergie cinétique de la balle à partir des éléments de réduction des 2 torseurs ne dépend pas du point de calcul. 5 - Marianne connaît des moments d'inertie La balle de Marianne est une sphère pleine et homogène, de rayon R, de masse M et de masse volumique . Calculer son moment d'inertie I par rapport à son centre géométrique G. G Pour cela, on pourra considérer la balle comme un emboîtement d'une série de sphères creuses, d'épaisseur élémentaire dr, et calculer le moment d'inertie de chacune de ces sphères en faisant intervenir l'angle solide sous lequel est vue une telle sphère depuis son centre (il n'est pas demandé de redémontrer que cet angle solide vaut 4 ). Utiliser les propriétés de symétrie d'une sphère pour en déduire simplement le moment d'inertie I de la balle par rapport à un plan contenant son centre. P

11/12 CP46 – Automne 2005 Corrigé de l'Examen MEDIAN 14/11/2005 En déduire ensuite le moment d'inertie I de la balle par rapport à un axe contenant son AG centre. Exprimer ces 3 moments d'inertie en fonction de la masse M et du rayon R de la balle. Calculer le moment d'inertie I de la balle par rapport à un axe tangent à sa surface. AT Calculer l'énergie cinétique d'une balle qui roule sans glisser le long d'une ligne droite, sur un plan, en fonction uniquement de la vitesse V de son centre de gravité et de sa G masse M. Marianne lance sa balle en ligne droite sur une patinoire. En l'absence de frottement, elle glisse sans rouler avec une vitesse V . 0 Sortant de la surface glacée, elle se met brusquement à rouler sans glisser. En supposant que la perte d'énergie lors de cette transition est négligeable par rapport à l'énergie cinétique initiale de la balle, de combien sa vitesse va-t-elle diminuer, en % ? 5 - Corrigé Moment d'inertie, par rapport à son centre, d'une sphère creuse de rayon r et d'épaisseur dr, ensemble de points équidistants du centre. 2 di1r dm 2 2 di1r 4 r dr Le moment d'inertie de la sphère pleine par rapport à son centre est obtenu par intégration de 0 à R. R 4 I14 r dr ∫ 0 G 4 5 I1R G 5 Un calcul analogue permet de retrouver le volume V de la sphère. 4 3 V1R 3 3 2 I1M R G 5 Le moment d'inertie par rapport à un plan contenant G s'en déduit compte tenu de la symétrie de la sphère, où les 3 axes d'un repère centré en G sont équivalents. 2 2 2 I1x#y#z ! dv ∫∫∫ S G 2 I1x dv ∫∫∫ S P 1 I1I P G 3 1 2 I P 1M R 5