Polytechnique X 2002 deuxieme composition de mathematiques classe prepa pc

Description

ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2002 FILIÈREPCDEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.Ceproblèmeapourbutprincipall’étudedescoefficientsdiagonauxdesdiversesmatricessemblablesàunematricedonnée.Ondésignepar nunentier 2,parM (R)l’espacedesmatricesàcoefficientsréels,à nnligneset ncolonnes,etpar Ilamatriceidentité;onappellescalaireslesmatricesdelaformeλI où λestunréel.Onrappellequedeuxmatrices Aet Bsontditessemblables s’ilexiste−1unematriceinversible Qvérifiant B = QAQ ,c’est-à-diresi Aet Breprésententunmêmen nendomorphismedeR dansdeuxbasesdeR .Premièrepartie1.Démontrerlesassertionssuivantes:n,nonnuletnonvecteura)Siunematrice Aestnonscalaire,ilexisteunvecteur XdeRproprepour A.b)Soit A ∈ M (R),iet j∈{1,...,n}.Ilexisteunematrice Bsemblableà Atellequenb = a ,b = a ,b = a pourtout k = i, j .i,i j,j j,j i,i k,k k,kDeuxièmepartie2.Onsedonneunematrice Ade M (R)detracenulleetonseproposededémontrerqu’ilnexisteunematrice Bsemblableà Aayanttoussescoefficientsdiagonauxnuls.na) Montrer que si A est non nulle, il existe une base (X ,...,X ) de R telle que1 nAX = X.1 2b)Conclureenprocédantparrécurrencesur n.13.Applicationsnumériques.Danschacundescasconsidérés,onindiqueraunematrice Brépondantàlaquestionetunebasequiluicorrespond.a) n=2,Aestdiagonaleaveccoefficientsdiagonaux 1,−1.b) n=3,Aestdiagonaleaveccoefficientsdiagonaux 1,0,−1.4.Soit ...

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• Publié par: shura
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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2002

FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   

Ce problème a pour but principal l’étude des coefficients diagonaux des diverses matrices semblables à une matrice donnée.

On désigne parnun entier2, parM n (R)l’espace des matrices à coefficients réels, àn lignes etncolonnes, et parIla matrice identité; on appellescalairesles matrices de la forme λIoùλest un réel. On rappelle que deux matricesAetBsont ditessemblabless’il existe −1 une matrice inversibleQvérifiantB=Q A Q, c’est-à-dire siAetBreprésentent un même n n endomorphisme deRdans deux bases deR.

Première partie

1.Démontrer les assertions suivantes :

n a)Si une matriceAest non scalaire, il existe un vecteurXdeR, non nul et non vecteur propre pourA.

b)SoitA∈M n (R), ietj∈ {1, . . ., n}. Il existe une matriceBsemblable àAtelle que

b i,i =a j,j , b j,j =a i,i , b k,k =a k,k

pour toutk=.i, j

Deuxième partie

2.On se donne une matriceAdeM n (R)de trace nulle et on se propose de démontrer qu’il existe une matriceBsemblable àAayant tous ses coefficients diagonaux nuls.

n a)Montrer que siAest non nulle, il existe une base(X 1 , X, . . . n )deRtelle que AX 1 =X 2 .

b)Conclure en procédant par récurrence surn.

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