Première composition de Mathématiques 2002 Classe Prepa PC Ecole Polytechnique

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Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Première composition de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2002

FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   

L’objet de ce problème est l’étude de systèmes régis par une équation différentielle dépendant d’une donnée appelée « commande » et la recherche de « commandes optimales ».

∗p Pour toutp∈N, on note ∙ la norme euclidienne surRet(∙|∙)le produit scalaire ∗p euclidien. Latransposéed’une matrice réelleMest notéeM. On identifie un élément deR avec une matrice àplignes et une colonne.

Dans ce problème, on appelle fonctionbien continue par morceauxsur un intervalle[0, T]de Rtoute fonctionϕcontinue par morceaux, continue à gauche sur[0, T]et continue à droite en 0, c’est-à-dire telle qu’il existe un nombre fini de points,t 0 = 0< t 1 . .< .< t k−1 < t k =Ttels queϕest continue sur[0, t 1 ],]t 1 , t 2 ], . . .,]t k−2 , t k−1 ],]t k−1 , T]et quelimϕ(t)existe pour t→t  t>t  = 1,2, . . ., k−1.

Préliminaires

SoitM p l’espace vectoriel des matrices carrées réelles àplignes. PourM∈ M p , on pose

M X |M|= sup. X∈R X p X=0

1.a)Vérifier queM∈ M p →−|M| ∈Rest une norme surM p .

b)Montrer que, pour toutes matricesM, N∈ M p , |M N||M| |N|. n  1 k 2.a)Pourn∈N, on poseS n (M) =M. Montrer que la suite(S n (M)) n∈N est k! k=0 convergente dans l’espace vectorielM p muni de la norme| ∙ |.

1

On pose ∞  1 M k e= limS n (M) =M . n→+∞ k! k=0 tM b)Montrer que la fonctiont∈R→e∈ M p est continue, dérivable et que d tM tM e=.M e dt d d tM−tM(s+t)M−tM c)Calculer(e e)et, pours∈R,(e e). En déduire que dtdt (s+t)M sMtM e=e e .

Première partie

SoitTun réel>0et soitA∈ M p . SoitBune fonction bien continue par morceaux sur p p [0, T]à valeurs dansR, et soitX 0 ∈R. On pose, pour toutt∈[0, T],  t tA(t−s)A X(t) =e X 0 +e B(s)ds . 0

3.a)On suppose queBest continue. Montrer quet→X(t)est l’unique fonction de classe 1p Csur[0, T]à valeurs dansRtelle queX(0) =X 0 et, pour toutt∈[0, T], d X(t) =A X(t) +B(t).(1) dt On suppose maintenant et dans toute la suite du problème queBest seulement bien continue par morceaux.

b)Montrer quet→X(t)est l’unique fonction continue, dérivable en tout point oùBest 1 continue, et de classeCpar morceaux sur[0, T]telle queX(0) =X 0 et que la condition (1) soit satisfaite en tout point oùXest dérivable.Par convention, on dira encore queXest solution de l’équation différentielle (1) sur[0, T].

∗ Soitq∈Ntel queqpet soitKune matrice réelle àplignes etqcolonnes. On désigne q parUl’espace vectoriel des fonctions bien continues par morceaux sur[0, T]à valeurs dansR. A toute fonctionU∈ U, on associe l’équation différentielle sur[0, T] d X(t) =A X(t) +K U(t),(2) dt p et l’on dit queUest lacommande du systèmedécrit par l’équation (2). On fixeX 0 ∈R. On désigne parX U l’unique solution de (2) telle queX U (0) =X 0 .

4.Montrer que, pour toutV∈ U, il existeY V tel que, pour toutU∈ Uet toutλ∈R, on aitX U+λV −X U =λY V . Préciser l’équation différentielle et la condition initiale satisfaites par Y V .

2

Soientα, β, γdes réels0. On considère la fonctionC:U →Rdéfinie par  T   2 22 C(U) =αX U (t)+βU(t)dt+γX U (T), 0 modélisant un coût que l’on cherche à rendre minimal. SoientU, V∈ Uetλ∈R. 5.Montrer queC(U+λV)− C(U)est un polynôme du second degré enλet donner des 2 expressions des coefficients de ce polynôme. Que peut-on dire du signe du coefficient deλ? p1 6.a)Montrer qu’il existe une unique fonctionZ U : [0, T]→R, de classeC, telle que Z U (T) = 2γ X U (T)et d ∗ Z U (t) =−A Z U (t)−2α X U (t). dt    T   b)ExprimerZ U (T)|Y V (T2) +α X U (t)|Y V (t) dtpar une intégrale de0àTfai- 0  sant intervenirK, VetZ U rappelle que pour des fonctions. OnZetYà valeurs vectorielles,     d dZdY Z(t)Y(t() =t)Y(t) +Z(t) (t).   dtdtdt 7.a)Déduire des questions précédentes que  T   d ∗ C(U+λV) =K Z U (t) + 2βU(t)V(t) dt .   dλ λ =0 0 b)Montrer queU 0 ∈ Uvérifie la conditionC(U 0 ) = inf U∈U C(U), si et seulement si, ∗ ∀t∈[0, T], KZ U 0 (t) + 2β U 0 (t) = 0.

Deuxième partie

On conserve les notations de la première partie.

q SoitJun intervalle fermé et borné deR, non réduit à un point, et soitJle cube qu’il définit “ q q dansR. On considère l’ensembleUdes commandesU∈ Utelles que∀t∈[0, T], U(t)∈J.

“ 8.a)L’ensembleUest-il un sous-espace vectoriel deU? “ “ b)Montrer que siU, V∈ U, λ∈[0,1], alorsU+λ(V−U)∈ U. “ 9.Montrer queU 0 ∈ Uvérifie la condition C(U 0 inf) =C(U) U∈ U  “ si et seulement si,∀t∈[0, T],∀V∈ U,   ∗ −U 0 (t) K Z U 0 (t) + 2β U 0 (t)  V(t) 0.

3

Dans l’application qui suit, on prendp= 2etq= 1. On choisitJ= [−a, a], oùa >0. Soit kune constante réelle,k >0.

Sit→x(t)est une fonction deux fois dérivable, on pose 2 dxdx x˙ =, x¨ =. 2 dtdt “ 1 Pour toute fonctionu∈ U, on étudie les fonctionst→x(t)de[0, T]dansR, de classeC, 2 et de classeCpar morceaux telles que¨x(t) =−k u(t)en tout pointt∈[0, T]où¨xest définie.

10.a)Écrire ce problème sous la forme (2) avec des matricesAetKque l’on déterminera. Soientx 0 etv 0 des nombres réels. Montrer qu’il existe une unique fonctionx u solution de ce problème telle quex u (0) =x 0 et˙x u (0) =v 0 .    2 2 b)Trouverα, β, γpour queC(u) =x u (T) +x˙ u (T). Ces valeurs deα, β, γsont choisies dans toute la suite du problème.

2 c)Montrer queZ u est une fonction affine detà valeurs dansR.

“ 11.a)Soitu 0 ∈ Utel quex u 0 (T) = 0etx˙ u 0 (T) = 0. Montrer queC(u 0 inf) =C(u). u∈ U 

“ b)Soitu 0 ∈ Utel que (i)x u 0 (T)et˙x u 0 (T);ne sont pas tous deux nuls (ii)C(u 0 ) =infC(u). u∈ U  Montrer que la fonctionu 0 est constante par morceaux. 2   T kaT 12.On suppose quex 0 = 1 +1 +,v 0 =−. 2 22 a)On considèreu 0 (t)telle que : T T u 0 (t) =asi0t, u 0 (t) =−asi< tT . 2 2 Calculerx u 0 (T)etx˙ u 0 (T). b)Montrer queC(u 0 ) =infC(u). u∈ U  1 c)On considère le cas oùk a=etT= 4. La fonctionu 0 est-elle alors l’unique fonction 4 “ deUtelle queC(u 0 ) =infC(u)? u∈ U  ∗ ∗ ∗ 4