Examen du Supérieur Ecole Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles. Sujet de Première composition de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2002
FILIÈREPC
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
L’objet de ce problème est l’étude de systèmes régis par une équation différentielle dépendant d’une donnée appelée « commande » et la recherche de « commandes optimales ».
∗p Pour toutp∈N, on note ∙ la norme euclidienne surRet(∙|∙)le produit scalaire ∗p euclidien. Latransposéed’une matrice réelleMest notéeM. On identifie un élément deR avec une matrice àplignes et une colonne.
Dans ce problème, on appelle fonctionbien continue par morceauxsur un intervalle[0, T]de Rtoute fonctionϕcontinue par morceaux, continue à gauche sur[0, T]et continue à droite en 0, c’est-à-dire telle qu’il existe un nombre fini de points,t0= 0< t1. .< .< tk−1< tk=Ttels queϕest continue sur[0, t1],]t1, t2], . . .,]tk−2, tk−1],]tk−1, T]et quelimϕ(t)existe pour t→t t>t = 1,2, . . ., k−1.
Préliminaires
SoitMpl’espace vectoriel des matrices carrées réelles àplignes. PourM∈ Mp, on pose
M X |M|= sup. X∈RX p X=0
1.a)Vérifier queM∈ Mp→−|M| ∈Rest une norme surMp.
b)Montrer que, pour toutes matricesM, N∈ Mp, |M N||M| |N|. n 1 k 2.a)Pourn∈N, on poseSn(M) =M. Montrer que la suite(Sn(M))n∈Nest k! k=0 convergente dans l’espace vectorielMpmuni de la norme| ∙ |.
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On pose ∞ 1 M k e= limSn(M) =M . n→+∞ k! k=0 tM b)Montrer que la fonctiont∈R→e∈ Mpest continue, dérivable et que d tM tM e=.M e dt d d tM−tM(s+t)M−tM c)Calculer(e e)et, pours∈R,(e e). En déduire que dtdt (s+t)M sMtM e=e e .
Première partie
SoitTun réel>0et soitA∈ Mp. SoitBune fonction bien continue par morceaux sur p p [0, T]à valeurs dansR, et soitX0∈R. On pose, pour toutt∈[0, T], t tA(t−s)A X(t) =e X0+e B(s)ds . 0
3.a)On suppose queBest continue. Montrer quet→X(t)est l’unique fonction de classe 1p Csur[0, T]à valeurs dansRtelle queX(0) =X0et, pour toutt∈[0, T], d X(t) =A X(t) +B(t).(1) dt On suppose maintenant et dans toute la suite du problème queBest seulement bien continue par morceaux.
b)Montrer quet→X(t)est l’unique fonction continue, dérivable en tout point oùBest 1 continue, et de classeCpar morceaux sur[0, T]telle queX(0) =X0et que la condition (1) soit satisfaite en tout point oùXest dérivable.Par convention, on dira encore queXest solution de l’équation différentielle (1) sur[0, T].
∗ Soitq∈Ntel queqpet soitKune matrice réelle àplignes etqcolonnes. On désigne q parUl’espace vectoriel des fonctions bien continues par morceaux sur[0, T]à valeurs dansR. A toute fonctionU∈ U, on associe l’équation différentielle sur[0, T] d X(t) =A X(t) +K U(t),(2) dt p et l’on dit queUest lacommande du systèmedécrit par l’équation (2). On fixeX0∈R. On désigne parXUl’unique solution de (2) telle queXU(0) =X0.
4.Montrer que, pour toutV∈ U, il existeYVtel que, pour toutU∈ Uet toutλ∈R, on aitXU+λV−XU=λYV. Préciser l’équation différentielle et la condition initiale satisfaites par YV.
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Soientα, β, γdes réels0. On considère la fonctionC:U →Rdéfinie par T 2 22 C(U) =αXU(t)+βU(t)dt+γXU(T), 0 modélisant un coût que l’on cherche à rendre minimal. SoientU, V∈ Uetλ∈R. 5.Montrer queC(U+λV)− C(U)est un polynôme du second degré enλet donner des 2 expressions des coefficients de ce polynôme. Que peut-on dire du signe du coefficient deλ? p1 6.a)Montrer qu’il existe une unique fonctionZU: [0, T]→R, de classeC, telle que ZU(T) = 2γ XU(T)et d ∗ ZU(t) =−A ZU(t)−2α XU(t). dt T b)ExprimerZU(T)|YV(T2) +α XU(t)|YV(t) dtpar une intégrale de0àTfai-0 sant intervenirK, VetZUrappelle que pour des fonctions. OnZetYà valeurs vectorielles, d dZdY Z(t)Y(t() =t)Y(t) +Z(t) (t). dtdtdt 7.a)Déduire des questions précédentes que T d ∗ C(U+λV) =K ZU(t) + 2βU(t)V(t) dt . dλλ=0 0 b)Montrer queU0∈ Uvérifie la conditionC(U0) = infU∈UC(U), si et seulement si, ∗ ∀t∈[0, T], KZU0(t) + 2β U0(t) = 0.
Deuxième partie
On conserve les notations de la première partie.
q SoitJun intervalle fermé et borné deR, non réduit à un point, et soitJle cube qu’il définit “ q q dansR. On considère l’ensembleUdes commandesU∈ Utelles que∀t∈[0, T], U(t)∈J.
“ 8.a)L’ensembleUest-il un sous-espace vectoriel deU? “ “ b)Montrer que siU, V∈ U, λ∈[0,1], alorsU+λ(V−U)∈ U. “ 9.Montrer queU0∈ Uvérifie la condition C(U0inf) =C(U) U∈ U “ si et seulement si,∀t∈[0, T],∀V∈ U, ∗ −U0(t) K ZU0(t) + 2β U0(t)V(t) 0.
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Dans l’application qui suit, on prendp= 2etq= 1. On choisitJ= [−a, a], oùa >0. Soit kune constante réelle,k >0.
Sit→x(t)est une fonction deux fois dérivable, on pose 2 dxdx x˙ =, x¨ =. 2 dtdt “ 1 Pour toute fonctionu∈ U, on étudie les fonctionst→x(t)de[0, T]dansR, de classeC, 2 et de classeCpar morceaux telles que¨x(t) =−k u(t)en tout pointt∈[0, T]où¨xest définie.
10.a)Écrire ce problème sous la forme (2) avec des matricesAetKque l’on déterminera. Soientx0etv0des nombres réels. Montrer qu’il existe une unique fonctionxusolution de ce problème telle quexu(0) =x0et˙xu(0) =v0. 2 2 b)Trouverα, β, γpour queC(u) =xu(T) +x˙u(T). Ces valeurs deα, β, γsont choisies dans toute la suite du problème.
2 c)Montrer queZuest une fonction affine detà valeurs dansR.
“ b)Soitu0∈ Utel que (i)xu0(T)et˙xu0(T);ne sont pas tous deux nuls (ii)C(u0) =infC(u). u∈ U Montrer que la fonctionu0est constante par morceaux. 2 T kaT 12.On suppose quex0= 1 +1 +,v0=−. 2 22 a)On considèreu0(t)telle que : T T u0(t) =asi0t, u0(t) =−asi< tT . 2 2 Calculerxu0(T)etx˙u0(T). b)Montrer queC(u0) =infC(u). u∈ U 1 c)On considère le cas oùk a=etT= 4. La fonctionu0est-elle alors l’unique fonction 4 “ deUtelle queC(u0) =infC(u)? u∈ U ∗ ∗ ∗ 4