Si K R ou C pour un polynome P X K X on notera P la fonction polynome associee a P X

Georg Friedrich Bernhard

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
Notations • Si K = R ou C, pour un polynome P (X) ? K[X], on notera P la fonction polynome associee a P (X). • Si deux suites numeriques (un)n et (vn)n sont equivalentes, on notera un ?n vn. De meme, si f et g sont deux applications reelles definies au voisinage d'un point x0 et equivalentes en x0, on notera f(x) ?x0 g(x). Quand le voisinage sera un voisinage a droite en x0, on precisera f(x) ?x+0 g(x). • On rappelle que le produit au sens de Cauchy de deux series (reelles ou complexes) ∑ un et∑ vn, est la serie ∑ wn ou le terme general wn est defini pour n ≥ 0 par wn = ∑n k=0 unvn?k. On rappelle aussi que si les series ∑ un et ∑ vn sont absolument convergentes, alors la serie produit ∑ wn est aussi absolument convergente et l'on a ( +∞∑ n=0 un )( +∞∑ n=0 vn ) = +∞∑ n=0 wn Objectifs du probleme Ce sujet aborde une serie de resultats et de proprietes relatifs a la formule de Stirling1 ainsi qu'aux polynomes et nombres dits de Bernoulli2.

• resultats etablis dans les questions precedentes sans les demontrer


• integrales de wallis


• x21 ?


• methode de calcul par integrations suc- cessives


• formule de stirling


• signe constant


• serie ∑

Sujets

• Bernhard
• Intégrales de Wallis
• Formule de Stirling

Informations

• Publié par: profil-meshug-2012
• Nombre de lectures: 49
• Langue: Français

Extrait

Notations

•SiK= R ou C eom,oprunuopylˆnP(X)∈K[X], on noteraPnˆompolyealcnofnoit associ´eea`P(X). •nuesitsuueiqerm´(sedxuiSu n ) n et (v n ) n eltnseo,´tqeiuavnnnoosterau n ∼ n v n .Demeˆm,e sifetginse´dfiellse´ree’unpagedisinauvotnostnioaticnsiouxdeplapx 0 laviuqe´testeen enx 0 , on noteraf(x)∼ x 0 g(xldnaioveanisesegQu).ortieenraunvoisinage`adx 0 , on pre´ciseraf(x)∼ + g(x). x 0 P •On rappelle que leproduit au sens de Cauchys)mpcoxelelleeuoseeire´r(sxu´sededu n et P P P n eralwpinfie´dtseroun≥0 parw=u v. v n ´sreeie,tsalw n rmeg´en´o`ulete n n k=0 n n −k P P Onrappelleaussiquesiless´eriesu n etv n esntgeerlarslo,aeire´ssoosultnbaocvnemtn P produitw n est aussi absolument convergente et l’on a  !  ! +∞+∞+∞ X X X u n v n =w n n=0n=0n=0

Objectifsduprobl`eme

1 Cesujetabordeunese´riedere´sultatsetdepropri´ete´srelatifs`alaformuledeStirling 2 ainsiqu’auxpolynoˆmesetnombresditsdeBernoulli.Ilsecomposedequatreparties. DanslapartieI,on´etablitlaformuledeStirlingquidonneun´equivalentsimplede 3 la suite (n!) n saudi´eeetudont´uqsisi,aWllseedalgr´entsileseliituliavarteC.aube´ledt partie.LafindelapartieIestuneapplicationdesint´egralesdeWallisetdelaformulede n Stirling`al’e´tudeduvolumedesboulesdans R . LapartieIIs’int´eresseauxpolynˆomesetnombresdeBernoulli.Onye´tudiecer- tainesdeleurspropri´et´esetl’ondonnedeuxapplicationsdecettee´tude.Lapremie`re, N X p arithm´etique,s’inte´resseaucalculdessommesdutypekoctscasn`ixueeme.deLar´ee k=0 xt te aude´veloppementense´rieenti`eredelafonction. t e−1 4 Dans la partie III, on introduit la fonctionζde Riemann et l’on explicite ses valeurs prises sur les entiers positifs pairs au moyen des nombres de Bernoulli. Ce calcul permet, aveclaformuledeStirling,d’expliciterune´quivalentsimplepourlasuitedesnombresde Bernoulli. DanslapartieIV,onrevienta`laformuledeStirlingetl’onde´crituneme´thodepour obtenir un raffinement asymptotique de la formule. Lespartiesdecesujetnesontpasind´ependantes,chacuned’ellespouvantutiliser desre´sultats´etablisdanscellesquilapre´c`edent.Aussipourra-t-onutiliserpourtraiter certainesquestions,lesr´esultatse´tablisdanslesquestionspre´ce´dentessanslesd´emontrer. Ilesttoutefoisvivementconseille´auxcandidatsd’aborderlin´eairementcesujet.

1 James,math´ematicienanglais,Garden1692-Edimbourg1770. 2 Jakob(francise´enJacques),math´ematiciensuisse,premierd’unelongueligne´efamilialede math´ematiciens.Bˆale1654-Bˆale1705. 3 John,mathe´maticienanglais,Ashford1616-Oxford1703. 4 GeorgFriedrichBernhard,math´ematicienallemand,Breselenz1826-Selasca1866

1

I.Int´egralesdeWallisetformuledeStirling.

I.1.Inte´gralesdeWallis. Pour tout entiern≥0, on pose Z π 2 n W n = cos (x)dx 0 Z π 2 n I.1.a. Montrer que, pour toutn≥0, on aW n = sin (x)dx. 0 (Indication. On pourra, par exemple, utiliser un changement de variables.) I.1.b. Montrer que la suite (W n ) n .anteoiss´ecrdtnemetcirtstse n n+1 (Indication.Pourlade´croissance,onpourracomparerlesfonctionsx7→cos (x) etx7→cos (x). Pourlastricted´ecroissance,onpourraraisonnerparl’absurde.) I.1.c.Al’aided’uneint´egrationparpartiesmontrerque,pourn≥0, on a   n+ 1 W n+2 =W n n+ 2

I.1.d.Ende´duireque,pourtoutentierp≥0, on a  (2p)!π   W 2p = 2p2 2 (p!) 2 2p2 2 (p!)   W 2p+1 = (2p+ 1)!

I.1.e. Montrer que, pour toutn≥0, on a π W n W n+1 = 2(n+ 1)

(Indication.Onpourrautiliserlaquestionpr´ec´edenteendistinguantsuivantlaparite´del’entier n.) I.1.f. Prouver que, pour toutn≥0, on a

1W n+1 1−< <1 n+ 2W n etende´duirequeW n ∼ n W n+1 . (Indication. On pourra utiliser la question I.1.b.) r π I.1.g. Montrer finalement queW n ∼ n dnE.ude´lerimiW n . 2n n

I.2. Formule de Stirling. Onconsid`erelasuite(u n ) n ´dfiein,eoprun≥1, par n n!e u n = √ n n n

et la suite auxiliaire (v n ) n rdu´niefipoe,n≥2, par

v n = lnu n −lnu n−1

2

I.2.a. Exprimer simplementv n en fonctionneppoleve´dnurenn’oale`t´milintmerdreetdo 2 en 1/nde la suite (v n ) n . X I.2.b.End´eduirequelas´eriev n Montrer alors que les suites (lnest convergente. u n ) n et (u n ) n nvcotetnegrei’uqcnode´rnleixeluetsK >0 tel que   n n √ n!∼ n K n e

I.2.c.Enutilisantcete´quivalent,calculerune´quivalentsimpledelasuite(W 2p ) p . √ d´eduirequeK= 2πet, par suite, que   n √ n n!∼ n 2πn e (Formule de Stirling)

En

I.3.Uneautreapplicationdesint´egralesdeWallis. [ msluarelseteitlpsurlppelt´egesinaRitnoilase´ar´gne.(Ce rappel n’est utile que pour les sous-questions I.3.a. et I.3.c. de cette question I.3.) Lesnotionsd’inte´gralesdoublesettriplesainsiquelame´thodedecalculparinte´grationssuc- cessivesdecesderni`eres(pr´esentesauprogramme),sege´n´eralisenta`toutedimensionfiniede n lamanie`resuivante:e´tantdonn´eunentiern≥1, une partieA n ⊂Renumtnoceˆnitrestida n−1 param´etrablesin= 1etA 1 est un segment ou sin≥2et s’il existe une partieA n−1 ⊂R continˆumentparam´etrableetdeuxfonctionscontinuesf, g:A n−1 −→Rtelles que n A n ={(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )∈R/(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n−1 )∈A n−1 etf(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n−1 )≤x n ≤g(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n−1 )} Avec ces notations, pour une fonction continueϕ:A n −→Rdeleiplt´efin,ond´tni’ltiumelargeϕ surA n par la formule suivante :  ! Z Z Z Z Z g(x 1 ,∙∙∙,x n−1 ) ∙ ∙ ∙ϕ(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )d x n ∙ ∙ ∙d x 1 =∙ ∙ ∙ϕ(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )d x n d x n−1 ∙ ∙ ∙d x 1 A n A n−1 f(x 1 ,∙∙∙,x n−1 )

Onadmettra,sansde´monstration,qu’`al’instardesint´egralesdoublesettriples,ler´eelainsiobtenu nede´pendquedelapartieA n et de la fonctionϕ. Le volume de la partieA n sera alors, par Z Z de´finition,ler´eel∙ ∙ ∙d x n ∙ ∙ ∙d x 1 . ] A n

Onseproposed’´etudiericilecomportementduvolumed’uneboulederayonfixe´quand onfaitvarierladimensiondel’espace.Pluspre´cis´ement,onsefixeunr´eelR >0et pour n tout entiern≥1oncon`disderesna R la bouleB n de centreOet de rayonR: n22 2 +∙ ∙ ∙+x B n ={(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )∈ R / x n ≤R} 1 On noteV n son volume.

n I.3.a. Montrer que, pourn≥2, pour tout (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )∈ R , on a   (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n−1 )∈ B n−1  (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )∈ B n ⇐⇒ q q   2 22 2 2 2 −R−x− ∙ ∙ ∙ −x≤x n ≤R−x− ∙ ∙ ∙ −x 1n−1 1n−1

Ende´duireparre´currencesurn≥1, queB n etsoctnniuˆemntparam´etrable. I.3.b. Soientλ >0utelee´rnm≥Montrer, en se servant par exemple d’un0 un entier. changement de variable utilisant la fonctiont7→λsint, que Z m λ   2 2m+1 2 λ−x dx= 2λ W m+1 −λ

3