Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2004 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Description

Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2004. Retrouvez le corrigé Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2004

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 janvier 2008
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

MT 26  FinalAutomne 04 Jeudi 20 janvier 2005 Matériel autorisé: une feuille aidemémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées

I. Première partie ( 4 + 2 + 612 points = ) 1°) Déterminerles domaines de convergence et les sommes des séries entières suivantes : 2 + n n n 1 n S (x) = x S(x) = x å å 1 2 (n + 1)! n + 2 n ³ 0 n ³ 0 2°) Déterminerles domaines de convergence des séries entières suivantes (on ne demande pas la somme) : ¥ ¥ n 2n z (x + 1) S = z Î C S = x Î R å å n 1 2 n + 2 4 n = 1 n = 0 3°) Onconsidère les équations différentielles(E) xy" + 2y' + x y = 1 etx y"(E ) + 2y' + x y = et0 , 0 ¥ on cherche une solution Cet développable en série entière en 0 de (E) sur R. * * cos x = a) Montrerque y définiesur Rou sur R - est une solution de (E).par y 2 +2 0 x Pour la suite, on propose différentes méthodes de résolution. Vous traiterez, au choix,une des questions b), c) ou d). b) Déterminerune solution de (E), développable en série entière en 0. 0 En déduire la solution générale de (E) sur les intervalles I=]0, + ¥ [ ou I=] ¥ , 0[. 0 12 a Déterminer une solution de (E) de la forme y = x(avec a Î R) ¥ En déduire la solution générale de (E) sur Iou I, puis les solutions Csur R. 1 2 c) Calculerles rayons de convergence et les sommes des séries entières p p ( - 1) ( - 1) 2 p2 p + 1 S = Sx et = x . å å p i (2p + 1)! (2p + 2)! p ³ 0 p ³ 0 Déterminer les solutions développables en série entière (en 0) de l’équation (E). d) Choisissezvousmême une autre méthode de résolution.

II. Deuxième partie( 12 points = 5 + 3 + 3 )

cos xsur 0, p S 1°) Onconsidère la fonction f, périodique de période T = 2 p f (x), définie par : = . | T 0 sur -p , 0 a) Représentergraphiquement la fonction f. Calculer les coefficients a, aet bdu développement de o 11 Fourier de f. b) Calculerles coefficients aet bdu développement de f. Écrire le développement de Fourier de f. n n La somme de Fourier estelle égale à la fonction f ?

2 p c) Endéduire le calcul de la somme de la série numérique S = . å 2 2 c h p ³ 1 4p - 1 2 4 4 2°) Soitla fonction f définie sur R² parf (x, y) = 2(x - y) - x - y . 2 a) Montrerque " (x, y) Î R f(x, y) = f (y, x) b) Enposant y = t x , étudier le signe de f dans un voisinage de (0,0). c) Étudierl’existence d’un extremum de f sur R². 3 * 22 e 3°) Soit. w Ela forme différentielle définie sur = R + par: w = y zdx + 2xyz dy - 2xy dz. a) Montrerque w n’est par une forme différentielle exacte (totale). * b) Déterminerune fonction g dérivable surR telleque g(1)= 1et y = w .g(z) soit une forme + différentielle exacte dF. c) Calculerla fonction F définie sur E telle que dF = y . Il faut mettre un frein àl’immobilisme qui mène en courant notre pays au gouffre. Extrait d’un discours d’un député de la Troisième République devant le Parlement