Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2008 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2008. Retrouvez le corrigé Suites – Séries – Fonctions de variable complexe 2008 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2009
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

le 19 Janvier 2009 UTBM MT26

Final automne 2008 Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-verso re´dig´eea`lamain Chaquepartiedoitˆetrer´edig´eesurunefeuillediff´erente

Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelar´edactioncorrectedes d´emonstrations.

PREMIERE PARTIE. (12 points)

2 1)De´terminerlede´veloppementens´erieentie`reen0delafonctionf(x) = ln(x−5x+ 6)et de´terminersurquelintervalleevd´opel.cevtlabaelepemtnse

P n 2)Justifierlefaitqu’unese´rieentie`rea n xde rayon de convergenceRest continue sur n≥0 ]−R, R[.

P n 3) Soita n xdere`etiecndyoranegrevnoecueneine´sreR∈Rd´efinit(nO.b n ) n≥0 par n≥0 P n ∀n∈N,b 2n =a n etb 2n+1 =Qu0.eselertlnoyaocedrevncnegtn`iireesae´deleereb n x. n≥0 Justifier.

4)De´terminerlede´veloppementdeFouriercomplexedelafonction2πuqide´de´p-oireiefinrsu 2x ]0,2π] parf(x) =edleeFouentdr´eeriere´delerimeppolevdu´end.Ef.

2π Rappel :Soitf:R−→Rune fonction continue par morceaux,T(ep´eriodiquωOn= ) T d´efinitlescoefficients de Fourier complexesdefpourn∈Z: Z T 1 −inωt c n (f) =f(t)e dt. T 0

5)De´terminerunefonctiondelavariablecomplexef(x+iy) =p(x, y) +i.q(x, y) holomorphe surCavecp(x, y) =xy.

6)De´terminerledomaineded´erivabilit´eausenscomplexedelafonctionde´finiesurCpar f(z) =z.(1−z¯).

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TOURNER LA PAGE SVP

DEUXIEME PARTIE (CHANGER DE FEUILLE!).

Exercice 1(5 points) Soitl’´equationdiff´erentielle

00 0 (E)x.y+ 2.y+x.y= 0

0 avec les conditions initiales :y(0) = 1,y(0) = 0.

1)D´eterminerlessolutionsde´veloppablesens´erieenti`ereauvoisinagede0deEainsi que leur rayon de convergence.

2)Reconnaıˆtrecessolutions.

Exercice 2(5 points) Soit la fonction impaire,2π-erp´idoiteuqelleeuq∀x∈]0, π[par : f(x) =x. 1)Tracerlacourberepr´esentativedecettefonctionsur[−3π,3π].

2)CalculerlescoefficientsdeFourierre´elsetdonnerlede´veloppementdeFouriercorrespon- dant def.

3)Versquellefonctionconvergelede´veloppementdeFourierdef? Cette convergence est-elle uniforme ?Pourquoi ? P P p +∞ (−1) + ∞ 1 4)Ende´duireet 2 . p=0 2 p+1 n=1 n

De´veloppementsusuelsens´eriesentie`resautourde0. P n x +∞ x e= , n=0 n! P 2p +∞ x cosh(x) =, p=0 (2 p)! P 2p+1 +∞ x sinh(x,) = p=0 (2 p+1)! P p2p +∞ (−1)x cos(x,) = p=0 (2 p)! P p2p+1 +∞ (−1)x sin(x) =, n=0 (2 p+1)! P +∞ α(α−1)...(α−n+1) α n (1 +x) =1 +x, n=1 n! P 1 +∞ n =x, 1− x n=0 P n+1n +∞ (−1)x ln(1 +x,) = n=1 n P 2n+1 +∞ 1.3....(2n−1) n x arctan(x) =x+ (−1) . n=1 2 .4...(2n ) 2n+1

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