Sujet du bac S 2007: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Etude d'intégrale, géométrie complexe, géométrie dans l'espace, loi de probabilté
Sujet du bac 2007, Terminale S, Antilles

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2007
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2007
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
Questiondecours
Prérequis:positivité etlinéaritédel’intégrale.
Soient a etb deuxréelsd’unintervalle I deRtelsquea6b.Démontrerquesi f et g sont
deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l’intervalle I, f(x)> g(x),Z Zb b
alors f(x)dx> g(x)dx.
a a
PartieA
1. Soitx unéelsupérieurouégalà1. Zx
Calculerenfonctiondex l’intégrale (2−t)dt.
1
1
2. Démontrerquepourtoutréelt appartenantàl’intervalle [1;+∞[,ona:2−t6 .
t
3. Déduiredecequiprécèdequepourtoutréelx supérieurouégalà1,ona:
1 32
− x +2x− 6lnx.
2 2
PartieB
1 32Soith lafonctiondéfiniesurRparh(x)=− x +2x− .
2 2 ³ ´
→− →−
Surlegraphiquejointenannexe,leplanestmunid’unrepèreorthogonal O, ı ,  dans
lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur
l’intervalle [1; 4].Onaatracéégalementladroite(d)d’équation x=4.Z4
1. a. Démontrerque h(x)dx=0.
1
b. Illustrersurlegraphiquelerésultatdelaquestionprécédente.
2. Onnote(D)ledomaineduplandélimitéparladroite(d)etlescourbesreprésenta-
tivesdesfonctionh etlogarithmenépériensurl’intervalle [1; 4].
Enutilisantunintégrationparparties,calculerl’airede(D)enunitésd’aire.
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité.³ ´
→− →−
O, u , v estunrepèreorthonormaldirectduplancomplexe.
Soit A lepointd’affixe1+i. ¡ ¢1
′ ′ ′AupointM d’affixez,onassocielepoint M d’affixez tellequez = z+iz .
2
′ ′ ′ ′ ′1. Onpose z=x+iy etz =x +iy avec x, y,x et y réels.
1 1
′ ′a. Démontrerleségalitéssuivantes:x = (x+y)ety = (x+y).Endéduireque
2 2
′lepointM appartientàladroite(OA).
′b. Déterminerl’ensemble despoints M duplantelsqueM=M .
−−−→ −→
′c. Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs MM et OA sont or-
thogonaux.
π
2. Soitr larotationdecentreOetd’angle .M estlepointd’affixez imagedeM par1 1
2
r,M lepointd’affixez =z,M lepointd’affixez telquelequadrilatèreOM M M2 2 3 3 1 3 2
soitunparallélogramme.BaccalauréatS
a. Danscettequestionuniquement M apouraffixe4+i,placerlespointsM,M ,1
M ,M .2 3
b. Exprimer z enfonctiondez,puis z enfonctiondez.1 3
c. OM M M est-ilunlosange?Justifier.1 3 2
1
′d. Vérifierquez −z= iz .3
2
1
′EndéduirequeMM = OM .3
2
3. Démontrer que les points M, M , M e tM appartiennent à un même cercle de1 2 3
1
′centreOsietseulement siMM = OM.
2 à′Donneralorslamesureenradiansdel’anglegéométrique M OM.
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité³ ´
→− →−
O, u , v estunrepèreorthonormaldirectduplancomplexe(unitégraphique1cm).
Onconsidèrelepoint A d’affixez =1+i.A ³ ´
→−
OnnoteS lasymétrieorthogonaleparrapportàl’axe O; u eth l’homothétie decentre1
Oetderapport3.
Onposes=h◦S .1
PartieA
1. Placerlepoint A etcompléterlafigureaufuretàmesure.
2. Quelleestlanaturedelatransformation s?Justifier.
3. Déterminerl’écriturecomplexedelatransformation s.
4. a. Déterminerl’affixez dupointB imagede Apar s.B ³ ´
−→ −−→
b. Montrerquez =−3iz .Déterminerunemesuredel’angle OA,OB .B A
5. Soient M le milieu de [AB] et P l’image de M par s. Montrer que la droite (OP) est
perpendiculaireàladroite(AB).
PartieB
1. OnposeC=s(B).MontrerqueP estlemilieude[BC].
2. a. Déterminerl’écriturecomplexedes◦s etendéduiresanature.
b. Montrerquel’imagedeladroite(OP)pars estladroite(OM).
c. QuereprésentelepointM pourletriangleOBP ?Justifier.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats ³ ´
→−→− →−
L’espaceestrapportéaurepèreorthonormé O, ı ,  , k .OnconsidèrelespointsA(3; 0; 6)
etI(0; 0; 6),etl’onappelle(D)ladroitepassantpar A etI.
Onappelle(P)lepland’équation2y+z−6=0et(Q)lepland’équation y−2z+12=0.
1. Démontrerque(P)et(Q)sontperpendiculaires.
2. Démontrerquel’intersection desplans(P)et(Q)estladroite(D).³ ´
→−
3. Démontrer que (P)et (Q)coupent l’axe O;  et déterminer les coordonnées des³ ´
→−
pointsB etC,intersections respectivesde(P)et(Q)avecl’axe O;  .
−→
4. Démontrerqu’uneéquationduplan(T)passantparB etdevecteurnormal AC est
x+4y+2z−12=0.
Antilles-Guyane 2 juin2007BaccalauréatS
5. Donnerunereprésentationparamétriquedeladroite(OA).
Démontrer que la droite (OA) et le plan (T) sont sécants en un point H dont on
détermineralescoordonnées.
6. QuereprésentelepointH pourletriangle ABC ?Justifier.
z
I
A
(D)
y
→− →−
z j
→− B
iO
(P)
C
x
(Q)
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la
copie le numéro et la lettre de la question ainsi que la valeur correspondant à la réponse
choisie.Aucunejustificationn’estdemandée.
Une réponse exacte aux questions 1 et 2 rapporte 0,5 point et à la question 3 rapporte 1
point. Uneréponseinexacte enlève0,25 point; l’absencede réponseestcomptée0 point. Si
letotalestnégatif,lanoteestramenéeàzéro.
On s’intéresse à deux types depièces électroniques, P1et P2, qui entrent dans la fabrica-
tiond’uneboïtedevitessesautomatique.
UneseulepiècedetypeP1etuneseulepiècedetypeP2sontnécessairesparboîte.
L’usinesefournitauprèsdedeuxsous-traitantsetdeuxseulement S1etS2.
Lesous-traitantS1produit80%despiècesdetypeP1et40%depiècesdetypeP2.
Lesous-traitantS2produit20%despiècesdetypeP1et60%depiècesdetypeP2.
1. Unemployé del’usine réunittoutes lespièces P1etP2destinées àêtreincorporées
dansuncertainnombredeboîtesdevitesses.Ilyadoncautantdepiècesdechaque
type.
Iltireunepièceauhasard.
a. LaprobabilitéquecesoitunepièceP1est
0,8 0,5 0,2 0,4 0,6
b. LaprobabilitéquecesoitunepièceP1etqu’elleviennedeS1est
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
c. Laprobabilitéqu’elleviennedeS1est
0,2 0,4 0,5 0,6 0,8
2. Il y a 200 pièces au total. Cette fois l’employé tire deux pièces simultanément. On
suppose touslestirageséquiprobables.
Antilles-Guyane 3 juin2007
bbbbbBaccalauréatS
−4a. Une valeur approchée à 10 près dela probabilité que cesoit deux pièces P1
est:
0,1588 0,2487 0,1683 0,0095
−4b. Une valeur approchée à 10 près dela probabilité que cesoit deux pièces P1
etP2est:
0,5000 0,2513 0,5025
c. La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur
est:
357 103 158
995 199 995
3. La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle
dontleparamètreλestdonnédansletableausuivant:
λ P1 P2
S1 0,2 0,25
S2 0,1 0,125
On rappelle que si X, durée de vie d’une pièce exprimée en années, suit une loiZt
−λxexponentielle deparamètreλ,alorsp(X6t)= λe dx.
0
−4Unevaleurapprochéeà10 prèsdelaprobabilitéqu’unepièceP1fabriquéeparS1
duremoinsde5ansest:
0,3679 0,6321
FIG. 1–Annexe(àrendreaveclacopie)
y
1.5
1.0
→−
j
0.5
xO →− 1 2 3 4
i
−0.5
−1.0
−1.5
Antilles-Guyane 4 juin2007