Sujet du bac S 2010: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Nombres complexes, calcul de probabilité événementielle, géométrie dans l'espace et analyse de fonctions.
Sujet du bac 2010, Terminale S, Polynésie

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 77
• Langue: Français

Extrait

Bac S – Polynsie – juin 2010 EXERCICE 1 (5 points)   v. Le plan complexe est rapport  un repre orthonormal directOu Partie A - Restitution organise de connaissances Prrequis Soitzun nombre complexe tel quez = a + bioaetbsont deux nombre rels. On notez  le nombre complexe dfini parz  =a–bi. Questions a) Dmontrer que, pour tous nombres complexeszetz,z    z   =  zz  . n n   z b) Dmontrer que, pour tout entier naturelnnon nul, et tout nombre complexez,z= . Partie B 4 On considre lquation (E) :z= – 4ozest un nombre complexe. 1.Montrer que si le nombre complexezest solution de lquation (E) alors les nombres complexes –zetz  sont aussi solutions de lquation (E). 2.On considre le nombre complexez 0 = 1 + i. a) crire le nombre complexez 0 sous forme exponentielle. b) Vrifier quezest solution de lquation (E). 0 3.Dduire des deux questions prcdentes trois autres solutions de lquation (E). Partie C Soient A, B, C et D les points daffixes respectives : z A = 1 + i,z B = –1 + i,z C = –1 – i etz D = 1 – i. π Soitrla rotation du plan de centre C et dangle de mesure –. 3 On appelle E limage du point B parret F celle du point D parr. 1.Dterminer lcriture complexe de la rotationr. 2.a) Dmontrer que laffixe du point E, notez E , est gale  –1 +3 . b) Dterminer laffixez F du point F. z A –z E c) Dmontrer que le quotientest un rel. z A –z F d) Que peut-on en dduire pour les points A, E et F ?

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EXERCICE 2 (3 points) Des robots se trouvent au centre de gravit O dun triangle de sommets S, I et X. Chacun se dplace en trois tapes successives de la manire suivante : • chaque tape il passe par lun des trois sommets S, I ou X puis il rejoint le point O ; •les robots sont programms de telle sorte que, lors dune tape, la probabilit de passer  parle sommet S est gale  celle de passer par le sommet X et la probabilit de passer par  lesommet S est le double de celle de passer par le sommet I ; •les diffrentes tapes sont indpendantes les unes des autres ; •on ne tient pas compte des passages par O. Partie A – Un seul robot Un seul robot se trouve au point O. 1.Dmontrer qu chaque tape, la probabilit que le robot passe par le sommet I est 1 gale . 5 2.On note E lvnement : « au cours des trois tapes, le robot passe successivement par les 3 sommets S, I et X dans cet ordre ». 4 Dmontrer que la probabilit de E est gale . 125 3.On note F lvnement : « au cours des trois tapes, le robot passe exactement par les 3 sommets S, I et X dans un ordre quelconque ». Dterminer que la probabilit de F. Partie B – Plusieurs robots Des robots se trouvent au point O, leurs dplacements tant indpendants les uns des autres. Quel nombre minimalnde robots doit-il y avoir pour que la probabilit de lvnement : « au moins lun des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre » soit suprieure ou gale  0,99 ?

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EXERCICE 3 (5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Dans lespace muni dun repre orthonormalO   , on considre : •les points A (1 ; 1 ; 1)et B ( 3 ; 2 ; 0) ;  •le plan (P)passant par le point B et admettant le vecteur AB pour vecteur normal ; •le plan (Q)dquationx–y+ 2z+ 4 = 0 ; •la sphre (S)de centre le point A et de rayon AB. 1.Montrer quune quation cartsienne du plan (P)est : 2x+y–z– 8 = 0. 2.Dterminer une quation de la sphre (S). 3.a) Calculer la distance du point Aau plan (Q).  Endduire que le plan (Q)est tangent  la sphre (S). b) Le plan (P)est-il tangent  la sphre (S) ? 4.On admet que le projet orthogonal de A sur le plan (Q),not C, a pour coordonnes (0 ; 2 ; −1). a) Prouver que les plans (P)et (Q)sont scants. b) Soit (D)la droite dintersection des plans (P)et (Q).  x=t    Montrerquune reprsentation paramtrique de la droite (D)est : y= 12 – 5t  avec   z= 4 – 3t t∈. c) Vrifier que le point Anappartient pas  la droite (D). d) On appelle (R)le plan dfini par le point A et la droite (D).  Laffirmationsuivante est-elle vraie ou fausse ?  «Tout point du plan (R)est quidistant des points Bet C».  Justifiervotre rponse.

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EXERCICE 4 (7 points) Lannexe, page 5, sera complte et remise avec la copie  la fin de lpreuve. Partie A 1.On considre la fonctiongdfinie sur [1 ;+∞[ parg(x) = ln(2x) + 1 –x. a)Cette question demande le dveloppement dune certaine dmarche comportant  plusieurstapes. La clart du plan dtude, la rigueur des raisonnements ainsi que  laqualit de la rdaction seront prises en compte dans la notation.  Dmontrerque lquationg(x) = 0 admet sur [1 ;+∞[ une unique solution noteα. b) Dmontrer que ln(2α) + 1 =α. = outentier natureln, paru= ln(2u)+ 1. 2.Soit la suite (u n ) dfinie paru 0 1et pour t n+1n On dsigne par (Γ)la courbe dquationy= ln(2x) + 1 dans un repre orthonormal O. Cette courbe est donne en annexe page 5. a) En utilisant la courbe (Γ), construire sur laxe des abscisses les quatre premiers  termesde la suite.   b) Dmontrer que pour tout entier natureln, 1u n u n+1  3. c) Dmontrer que la suite (u n )converge versα. Partie B 1– x On considre la fonctiondfinie sur [0 ;+∞[ par(x) = (x.– 1)e On dsigne par (C)la courbe reprsentative de la fonctiondans un repre orthonormal O. Cette courbe est donne en annexe page 5. 1.Pour tout nombre relxsuprieur ou gal  1, on pose : x x 1 – t   F(x) =(t) dt= (td– 1)et.   1 1 a) Dmontrer que la fonctionFest croissante sur [1 ;+∞[. b) Montrer  laide dune intgration par parties que pour tout relxappartenant  1– x  [1;+∞[,F(x) = –xe +1. 1 c) Dmontrer que sur [1 ;+∞[, lquationF(xest quivalente  lquation) = 2  ln(2x) + 1 =x. 2.Soit un relasuprieur ou gal  1. On considre la partieD a du plan limite par la courbe (C), laxe des abscisses et les droites dquationx=1etx = a. 1 Dtermineratel que laire, en units daires, deD a et hachurer, soit gale D a sur le 2 graphique.

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ANNEXE Cette page sera complte et remise avec la copie  la fin de lpreuve. EXERCICE 4

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