Sujet du bac S 2011: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Calcul de limite d'une suite récurrente, QCM complexe et probabilité, position de points dans l'espace et analyse.
Sujet du bac 2011, Terminale S, Afrique

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 83
• Langue: Français

Extrait

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BACCALAUREAT GENERAL

MATHEMATIQUES Série S

Enseignement Obligatoire

Durée de l'épreuve : 4 heures

Coefficient : 7

Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Session 2011

Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

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EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats)   −→ On considère une droiteDmunie d'un repèreO, i. Soit(A n )la suite de points de la droiteDainsi définie : •A 0 est le pointO; •A 1 est le point d'abscisse1; •pour tout entier natureln, le pointA n+2 est le milieu du segment[A n A n+1 ].

1. a.Placer sur un dessin la droiteD, les pointsA 0 ,A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ,A 5 etA 6 . On prendra 10 cm comme unité graphique. b.Pour tout entier natureln, on notea n l'abscisse du pointA n . Calculera 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 eta 6 . a n+1 +a n c.Pour tout entier natureln, justifier l'égalité :a n+2 =. 2 1 2.Démontrer par récurrence, que pour tout entiern,a n+1 =−a n + 1. 2 2 3.Soit(v n )la suite définie, pour tout entier natureln, parv n =a n −. 3 1 Démontrer que(v n )est une suite géométrique de raison−. 2

4.Déterminer la limite de la suite(v n ), puis celle de la suite(a n ).

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EXERCICE 2 (5 points ) (Commun n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n'est pas justifiée ne sera pas prise en compte. Toute justification incomplète sera valorisée.   −→−→ Question 1On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthono rmal directO, i, j, les pointsA,BetCd'affixes respectives :  !   √ 1 3 a= 1 +i,b= 3i,c= 3+ +i+ 2. 2 2

Affirmation Le triangleABCest un triangle équilatéral.

−→−→ Question 2On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct(O, u, v),   2i ′ la transformationfdont une écriture complexe est :z=z. 3 +i Affirmation π La transformationfest la rotation de centreOet d'angle. 3   2011 Question 3On considère le nombre complexea=−3 +i. Affirmation Le nombre complexeaest un nombre imaginaire pur.

Question 4SoitXune variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètreλ, oùλest un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réeltstrictement positif, la probabilité de l'événement(X6t) −λt s'exprime parP(X6t) = 1−e. Affirmation −λ Sachant queX>2, la probabilité queXappartienne à l'intervalle[2; 3]est égale à1−e.

Question 5Une urne contient au totalnboules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue10tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage. Affirmation La plus petite valeur de l'entiern, pour laquelle la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche sur les10tirages est supérieure ou égale à0,9999, est égale à13.

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EXERCICE 3 (5 points ) (Commun à tous les candidats)

La figure ci-contre représente un cube ABCDEF GHd'arête1. F On désigne parIetJles milieux respectifs des arêtes[BC]et[CD]. SoitMun point quelconque du segment[CE]. Dans tout l'exercice,  on se place dans l  e −→−−→→ repère orthonormalA;AB, AD, AE. B

E

A

I

M

G

C

H

D J

1. a.Donner, sans justification, les coordonnées des pointsC,E,IetJ. b.Justifier l'existence d'un réeltappartenant à l'intervalle[0; 1], tel que les coordonnées du pointMsoient(1−t; 1−t;t).

2. a.Démontrer que les pointsCetEappartiennent au plan médiateur du segment[IJ]. b.En déduire que le triangleM IJest un triangle isocèle enM. 2 c.ExprimerIMen fonction det.

3.Le but de cette question est de déterminer la position du pointMsur le segment[CE]pour [ laquelle la mesure de l'angleIM Jest maximale. [ On désigne parθla mesure en radian de l'angleIM J. a.En admettant que la mesureθappartient à l'intervalle[0;π], démontrer que la mesureθest   θ maximale lorsquesinest maximal. 2 b.En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueurIMest minimale. c.Étudier les variations de la fonctionfdéfinie sur l'intervalle[0; 1]par : 1 2 f(t) = 3t−t+. 4 d.En déduire qu'il existe une unique positionM 0 du pointMsur le segment[EC]telle que la [ mesure de l'angleIM Jsoit maximale. e.Démontrer que le pointM 0 est le projeté orthogonal du pointIsur le segment[EC].

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EXERCICE 4 (5 points ) (Commun à tous les candidats) Soientfetgles fonctions définies sur l'ensembleRdes nombres réels par : 1−x2 1−x f(x) =xeetg(x) =x e.   −→−→ Les courbes représentatives des fonctionsfetgdans un repère orthogonal, jO, isont respec- ′ tivement notéesCetC. Leur tracé est donné en annexe.

1. Etudedes fonctionsfetg a.Déterminer les limites des fonctionsfetgen−∞. b.Justifier le fait que les fonctionsfetgont pour limite0en+∞. c.Étudier le sens de variations de chacune des fonctionsfetget dresser leurs tableaux de variations respectifs.

2. Calculd'intégrales Pour tout entier natureln, on définit l'intégraleI n par : Z Z 1 1 1−x n1−x I 0 =e dxet, sin>1,I n =x edx. 0 0 a.Calculer la valeur exacte deI 0 . b.À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour t out entier natureln: I n+1 =−1 + (n+ 1)I n . c.En déduire la valeur exacte deI 1 , puis celle deI 2 .

3. Calculd'une aire plane ′ a.Étudier la position relative des courbesCetC. b.On désigne parAl'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan compri se d'une part ′ entre les courbesCetC, d'autre part entre les droites d'équations respectivesx= 0etx= 1. En exprimantAr l'égalité :comme différence de deux aires que l'on précisera, démontre A=e−3.

4. Etudede l'égalité de deux aires Soitaun réel strictement supérieur à1. On désigne parS(a)l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan compri se d'une part ′ entre les courbesCetC, d'autre part entre les droites d'équations respectivesx= 1etx=a. On admet queS(a)s'exprime par : 1−a2 S(a) = 3−e(a+a+ 1). L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe uneet une seule valeur deapour laquelle les airesAetS(a)sont égales. a.Démontrer que l'équationS(a) =Aest équivalente à l'équation : a2 e=a+a+ 1. b.omplète, ou d'initiative, même nonDans cette question, toute trace d'argumentation, même inc fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réela, solution du problème posé. Page 5 / 6

FEUILLE ANNEXE

Courbes de l'exercice 4

′ C 3

2

1

−3−2−1 O 1 2 3

−1

C −2

−3

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