Sujet par thèmes : Sujets de spécialité : suites

Frattini

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Decouvrez les fiches et sujets 2009/2010 pour la classe de terminale ES.

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• Publié par: classe-de-terminale-es
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

Exercice1
erUnepersonneplace,le1 janvier2001,suruncompterémunéréàintérêtscom-
posésautauxannuelde4%,unesommedea euros.
er erDeplus,chaque1 janvier desannéessuivantes, c’est-à-direaule1 janvier 2002,
er1 janvier2003,...,etc,elleplacesurcecomptelasommede1000euros.
On pose U = a. Plus généralement, pour tout entier naturel n, on appelle U la0 n
ersommedisponiblesurlecompte,le1 janvierdel’année(2001+n).
1. a. Justifierque,pourtoutentiernatureln,ona:U =1,04U +1000.n+1 n
b. Montrerquecettesuiten’estniarithmétique,nigéométrique.
2. Optimisationduplacementsuruneduréedequatreans.
OnposeV =U +25000.n n
a. VérifierquelasuiteV estgéométrique,deraison1,04.Précisersonpre-n
miertermeenfonctiondea.
b. ExprimerV enfonctiondea etn.n
nc. Endéduireque,pourtoutentiern : U =1,04 ×(a+25000)−25000.n
3. Optimisationduplacementsuruneduréedequatreans
Calculerà0,01europrèsleplacementinitialminimal a permettantdedispo-
ersersurcecompte,le1 janvier2005,d’unesommed’aumoins15000euros.
Exercice2
erUnepersonneplace,le1 janvier2001,suruncompterémunéréàintérêtscom-
posésautauxannuelde4%,unesommedea euros.
er erDeplus,chaque1 janvier desannéessuivantes, c’est-à-direaule1 janvier 2002,
er1 janvier2003,...,etc,elleplacesurcecomptelasommede1000euros.
On pose U = a. Plus généralement, pour tout entier naturel n, on appelle U la0 n
ersommedisponiblesurlecompte,le1 janvierdel’année(2001+n).
1. a. Justifierque,pourtoutentiernatureln,ona:U =1,04U +1000.n+1 n
b. Montrerquecettesuiten’estniarithmétique,nigéométrique.
2. Optimisationduplacementsuruneduréedequatreans.
OnposeV =U +2500.n n
a. VérifierquelasuiteV estgéométrique,deraison1,04.Précisersonpre-n
miertermeenfonctiondea.
b. ExprimerV enfonctiondea etn.n
nc. Endéduireque,pourtoutentiern : U =1,04 ×(a+25000)−25000.n
3. Optimisationduplacementsuruneduréedequatreans
Calculerà0,01europrèsleplacementinitialminimal a permettantdedispo-
ersersurcecompte,le1 janvier2005,d’unesommed’aumoins15000euros.
Exercice3
Ondisposed’unepiècedemonnaieparfaitementéquilibréeetdedeuxurnes,l’une
marquéedelalettreFetl’autremarquéedelalettreP.
1. Chacunedesdeuxurnescontient6boules.L’urnemarquéeFcontient5boules
blancheset1boulenoirealorsquel’urnemarquéePcontient2boulesblanches
et4boulesnoires.
Onlancelapiècedemonnaie:
1– sionobtient«face»,ontireunebouledansl’urnemarquéeF.
– sionobtient«pile»,ontireunebouledansl’urnemarquéeP.
OnnoteP,F,BetNlesévènementssuivants:
P:«onaobtenupileaulancerdelapièce»;
F:«onaobtenufaceaulancerdelapièce»;B:«onatiréunebouleblanche»;
N:«onatiréuneboulenoire».
Déterminer laprobabilitédetirerunebouleblanchesachantqu’onaobtenu
«face»aulancerdelapièce.
Endéduirelaprobabilitéd’obtenir«face»aulancerdelapièceetdetirerune
bouleblanche.
Calculerlaprobabilitédel’évènementB ∩ P.
Déduiredesquestionsprécédentesquelaprobabilitédetirerunebouleblanche
7
est .
12
2. On effectue la même expérience aléatoire, les deux urnes contenant à pré-
sent2n boules, n étantunentiernaturelnonnul.L’urnemarquéePcontient
(2n − 1)boulesblancheset1boulenoirealorsquel’urnemarquéePcontient
(n−1)boulesblancheset(n+1)boulesnoires.
3n−2
Montrerquelaprobabilitédetirerunebouleblancheest: .
4n
3n−2
3. Soit(u )lasuitedéfiniepar:u = pourtoutn entiernaturelnonnul.n n
4n
a. Déterminerlalimite,quandn tendversplusl’infini,delasuite(u ).n
2
b. Montrerquepourtoutentiern>1 : u −u = .n+1 n
4n(n+1)
Déduiredelaquestionprécédentelesensdevariationdelasuite(u ).n
Exercice4
MonsieurXaplacé2000€le31décembre2002sursonlivretbancaire,àintérêts
composés au taux annuel de 3,5% (ce qui signifie que, chaque année, les intérêts
sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). à partir de l’année
suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700 € supplémentaires sur ce
livret.
erOndésigneparC lecapital,expriméeneuros,disponible le1 janvier del’an-n
née(2003+n),oùn estunentiernaturel.Ainsi,ona:
C =2000.0
er1. a. Calculerlecapitaldisponiblele1 janvier2004.
b. établir,pourtoutentiernatureln,unerelationentreC etC .n+1 n
2. Pourtoutentiernatureln,onpose:
u =C +20000.n n
a. Démontrerquelasuite u estunesuitegéométriquedontondétermi-( )n
neralaraison.
b. Exprimeru enfonctionden.n
c. Endéduireque,pourtoutentiernatureln,ona:
nC =22000×(1,035) −20000.n
erd. Calculer lecapitaldisponible le1 janvier 2008 (onarrondiralerésultat
àl’europrès).
23. Le premier janvier 2008, Monsieur X retirera alors le capital disponible de la
banque pour financer un voyagedont le coût (supposé fixe) est de 6000 €. Il
paiera cette somme en 4 mensualités qui seront 4 termes consécutifs d’une
suitearithmétiquederaison800€.
Calculerlemontantdechacunedeces4mensualités.
Exercice5
Unmagasindelogicielsdejeuxdécidedelancerlacommercialisationd’unnou-
veauproduit.
Pourcela,ilplanifiesurtroisanssesobjectifstrimestrielsdeprixdeventeense
basantsurlaloidel’offreetdelademande.
n étant unentier naturel, ondésigne par v l’indice duprixdevente lors dun-n
4
ièmetrimestre.L’indicededépartestnotév .Ona:v =100etv = v +28.0 0 n+1 n
5
1. Onpose:u =v −140.n n
4
a. Montrerque(u )estunesuitegéométriquederaison depremiertermen
5
(−40).
b. Exprimeru enfonctionden,puisv enfonctionden.n n
2. Ondésignepard l’indicedelademandelorsdun-ièmetrimestre.n
750 5
Sachantque:d = − v ,calculerd etexprimerd enfonctionden.n n 0 n
7 7
3. Calculerlesvaleursdesdeuxindicesauboutdestroisans.
Exercice6
Lors d’une partie de fléchettes, un joueur envoie une à une des fléchettes vers
unecible.Latentativeestréussiequandlafléchetteatteintlacible,elleéchouedans
lecascontraire.
rePourla1 fléchette,leschancesderéussiteoud’échecsontégales.
Pourchaquelancersuivant,laprobabilitéqu’ilréussissedépenduniquementdu
résultatdulancerprécédent:
• Elleestde0,7quandlelancerprécédentatteintlacible;
• Elleestde0,4quandilaéchoué.
Onnote:
e• C l’évènement «Lan fléchetteatteintlacible»,n
e• E l’évènement «Len lanceraéchoué».n
1. La partie necomporte que deux fléchettes. Traduirela situation àl’aide d’un
earbre pondéré. En déduire la probabilité pour que la 2 fléchette atteigne la
cible.
Danstoutelasuitedel’exercice,ndésigneunentiersupérieurouégalà1et
onconsidèrequelejeusedérouleavecnfléchettes.
eOndésigneparc laprobabilitéd’atteindrelaciblelorsdun lanceretparen n
laprobabilitéquecelanceréchoue.
eOnnoteP =[c e ]lamatricelignequitraduitl’étatprobabilistelorsdunn n n
lancer.
eLamatriceP =[0,5 0,5]traduitdoncl’étatprobabilisteinitiallorsdu1 lan-1
cer.
2. a. Représenterlasituationàl’aided’ungrapheprobabiliste.
b. Donnerl’étatP .2
33. a. à l’aide de la relation P = P ×A où A est la matrice de transitionn+1 nµ ¶
0,7 0,3
e,exprimerlaprobabilitéc d’atteindrelaciblelorsdun+1n+10,4 0,6
lancerenfonctiondesprobabilitésc ete .n n
b. Montrerquepourtoutentiern>1,onac =0,3c +0,4.n+1 n
4
4. Soitlasuite(u )définie,pourtoutentiernatureln>1,paru =c − .n n n
7
a. Montrerquelasuite(u )estunesuitegéométriquederaison0,3.n
b. Endéduireu puisc enfonctionden.n n
c. Calculerlalimitedec quandntendversl’infini.Interprétercettelimite.n
Exercice7
y
4
3
H H1 2
2
1
1
0
xO 0 1 2 3 4 5 6 71
Les courbesH etH représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont res-1 2
pectivementpouréquation
1 2
y= et y= .
x x
OnnoteD ledomainedélimitéparlescourbesH etH etlesdroitesd’équa-2 1 2
tionx=2etx=3.
′On noteD le domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbeH et les12
droitesd’équation x=2etx=3.
′1. Colorier lesdomainesD etD d’unecouleur différenteetmontrerqu’ilsont2 2
lamêmeaire.
Soit n un ent