Systèmes asservis industriels 2006 Ingénierie et Management de Process Université de Technologie de Belfort Montbéliard

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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Systèmes asservis industriels 2006. Retrouvez le corrigé Systèmes asservis industriels 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 août 2008
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Français

Extrait

Auteur : HANS T.

Introduction et données techniques

Introduction:

Le sous système objet de l’étude fait partie d’une

machine à découper par jet d’eau.

La table supportant la buse doit se déplacer dans un

plan horizontal repéré par les axes:

La dimension des pièces à découper impose une plage

de positionnement de la table égale à 0 - 1000 mm

suivant x et suivant y.

Les déplacements de la table sont obtenus grâce à

deux moteurs à courant continu, actionneurs inclus

dans deux boucles d’asservissement.

Les entraînements sont réalisés par des courroies

crantées.

La partie commande de ces deux boucles d’asservissement est réalisée par une carte électronique à micro

contrôleur. Les actions de contrôle-commande sont donc de type « échantillonné ». Dans la présente étude

celles-ci seront assimilées à des actions "continues".

C’est en fait une machine à commande numérique à deux axes.

On étudie dans ce devoir uniquement la partie contrôle commande de l’axe X sur lequel est monté la buse.

Eléments constitutifs

de l’axe numérique objet de l’étude:

Données techniques:

Pour le moteur

- constante de couple

k

m

= 0.1 N.m/A

- constante de vitesse

k

v

= 1/ k

m

- résistance d'induit

R = 2

Ω

- inductance d'induit

L = 800 10

-6

Hy

- inertie du rotor

J

m

= 4.10

-6

kg.m

2

Pour l'entraînement

- diamètre poulie

D = 63,66 mm

Pour le codeur inc.

- nombre voies

2 en quadrature de phase

- nombre de fentes par tour et par voie: n

f

= 200

- inertie

J

ci

= 2.10

-6

kg.m

2

Pour le réducteur

- rapport de réduction

ρ

= (

Ω

s /

Ω

m) = (

θ

s

/

θ

m

) = 0.1

- inertie (coté moteur)

J

r

= 3.10

-6

kg.m

2

{

x , y

}

x

(en mm)

y

(en mm)

500

0

1000

500

1000

Table

supportant la

buse

UV : SY40

Final P06

ETUDE DU CONTROLE COMMANDE DU

SYSTEME DE POSITIONNEMENT D’UNE BUSE

SUR MACHINE DE DECOUPE PAR JET D’EAU

Nom:

Signature:

M

Equipage

mobile

Carte

électronique

de contrôle

commande

Courroie

crantée

Poulie d’entraînement

de diamètre noté D

Poulie

libre en

rotation

Réducteur de

rapport noté

ρ

Moteur à courant continu

de type « Brushless »

CI

Codeur

Incrémental

Um

Im

Ω

m

,

θ

m

Ω

S

,

θ

s

0

1000

X

(en mm)

UV: SY40

Devoir final P06

Page: 2

1- Modélisation des éléments de la boucle d'asservissement

Le capteur en position:

L'image de la position de l'équipage mobile résulte du comptage de toutes les transitions sur les deux signaux

issus du codeur incrémental (lui-même accouplé à l'arbre moteur). On note "M" (Mesure position) le résultat

de comptage.

Q1.1

Exprimer le coefficient de transfert de mouvement X /

θ

m

avec:

- X étant le déplacement linéaire du chariot exprimé en mm

-

θ

m

l'angle de rotation de l'axe moteur exprimé en rad

en fonction des grandeurs D (diamètre de la poulie d'entraînement exprimée en mm) et

ρ

(le rapport de

réduction du réducteur)

Q1.2

Exprimer le coefficient de transfert du capteur de position défini par

µ

= M/X

en fonction des

grandeurs n

f

, D et

ρ

Q1.3

Calculer la valeur de

µ

et en déduire la sensibilité du capteur (déplacement élémentaire en X qui

entraîne une incrémentation de M)

La charge mécanique:

Hypothèses:

On négligera les frottements visqueux (f ≈0) ainsi que les frottements secs (Cs ≈0). On ne tiendra donc

en compte que les inerties.

L'étude dynamique du système sera faite au niveau de l'arbre moteur.

Q1.4

Si on note Mc la masse (exprimée en kg) de l'équipage mobile en translation, en déduire l'expression

de sa contribution sur l'inertie ramenée au niveau de l'arbre moteur (exprimée en kg.m

2

).

Rappel: Propriété de la conservation de l'énergie cinétique:

L'énergie cinétique emmagasinée par la masse Mc à la vitesse linéaire V (en m/s)

(V= dX/dt)

Ec=(1/2) Mc.V

2

sera égale à l'énergie cinétique Ec= (1/2)Jc.

Ω

m

2

de l'inertie équivalente de

la charge(notée Jc) ramenée au niveau de l'arbre moteur, tournant à la vitesse de rotation

Ω

m

Jc

=

µ

=

X

(p)

θ

m(p)

=

A exprimer en fonction de

D,

ρ

et Mc

µ

X

M

µ

=

S

=

UV: SY40

Devoir final P06

Page: 3

Dans la suite on notera

J

l'inertie globale (somme de toute les inerties) au niveau de l'arbre moteur et on

prendra

J =

J

m

+

J

ci

+

J

r

+

J

c

=

24 10

-6

kg.m

2

Q1.5

Après avoir rappelé l'équation fondamentale de la dynamique pour un système à un seul degré de

liberté (la rotation), on appliquera cette loi à l'arbre moteur. On notera Cm

(t)

le couple moteur.

Q1.6

En déduire l'expression de la fonction de transfert définie

Ω

m(p)

/C

m(p)

L'interface de puissance + moteur + charge mécanique:

L'interface de puissance est un hacheur 4 quadrants qui

impose donc une tension moyenne aux bornes du

moteur (U

m

), proportionnelle à la grandeur de sortie du

régulateur numérique (Sr). On notera k

u

le coefficient

de transfert de cette interface (exprimé en V/inc) soit

u

m(t)

= k

u

. s

r(t)

u

m(p)

= k

u

. s

r(p)

On rappelle ci contre la constitution de la maille

électrique.

Schéma bloc et fonction de transfert en boucle ouverte

Q1.8

Compléter le schéma bloc ci-dessous

Sous certaines conditions (qu'il n'est pas demandé d'expliciter) on peut mettre la fonction de transfert en

boucle ouverte de l'asservissement en position sous la forme donnée ci-après, (forme et valeurs numériques

que l'on adoptera dans la suite du problème).

Expression générale

Application au système étudié

u

m(t)

i

m(t)

R

(Résistance d'induit)

L

(Inductance d'induit)

e

m(t)

= k

m

.

Ω

m(t)

(Force contre électromotrice)

k

u

(hacheur)

Sr

(t)

(Sortie

régulateur)

X

(p)

(en mm)

I

m(p)

(en A)

C

m(p)

(en N.m)

θ

m (p)

(en rad)

Sr

(p)

(en inc)

+

-

E

m (p)

(en V)

Régulateur

U

m (p)

(en V)

Ω

m(p)

(en rad/s)

M

(p)

(en inc)

Interface

Puissance

Moteur + charge mécanique

transmission

mouvement

Capteur

M

(p)

Sr

(p)

=

α

p(1+

τ

1

.p) (1+

τ

2

.p)

avec:

=

L

R

τ

2

=

0.4 m.S

=

J.R

k

m

2

τ

1

=

4,8 m.S

Ω

m(p)

C

m(p)

=

1

R+L.p

k

m

k

m

µ

UV: SY40

Devoir final P06

Page: 4

2. Etude en boucle fermée par correcteur à action "P"

Le système objet de l'étude peut, dans ce cas, se mettre sous la forme du shéma bloc ci-dessous:

On adoptera le changement de variable: k

o

= k.

α

Tracé des lieux d'Evans de la boucle d'asservissement (lieux des pôles de la FTBF lorsque le l'on fait

varier k (donc k

o

) entre 0 et l'infini

Q2.1

Combien y a-t-il de lieux et donner leurs points de départ.

Q2.2

Déterminer les différentes directions asymptotiques.

Q2.3

Déterminer le point de rencontre de ces asymptotes avec l'axe réel.

Q2.4

Déterminer les parties de l'axe réel qui appartiennent aux lieux.

Q2.5

Déterminer, s'il(s) existe(nt), le(s) point(s) de séparation(s)

Correcteur à action proportionnelle

X

(p)

(en mm)

+

-

M

(p)

(en inc)

C

(p)

(en inc)

1

µ

M

(p)

(en inc)

α

p(1+

τ

1

.p) (1+

τ

2

.p)

Sr

(p)

(en inc)

Consigne

k

ε

(p)

(en inc)

Ecart

Mesure

Position

UV: SY40

Devoir final P06

Page: 5

Q2.6

Tracer l'allure des lieux d'Evans

Fonction de transfert en boucle fermée

Q2.7

Exprimer littéralement (en fonction de ko,

τ

1,

τ

2,

µ

et p) la fonction

de transfert en boucle fermée et la mettre sous la forme donnée ci-contre:

(On exprimera tout d'abord M

(p)

/C

(p)

F.T.B.F. de la boucle à retour unitaire)

Im

(p)

Re

(p)

a

1

=

a

2

=

a

3

=

1/

µ

X

(p)

C

(p)

=

1+ a

1

.p + a

2

.p

2

+ a

3

.p

3

UV: SY40

Devoir final P06

Page: 6

Le tracé du lieu d'Evans montre que l'on peut mettre cette

fonction de transfert sous la forme donnée ci-contre

Q2.8

Exprimer (sous forme littérale), par identification terme à terme, le système de trois équations qui lie

les grandeurs ko,

τ

1,

τ

2,

ξ

F

,

ω

F

et

τ

F

Réglage de l'action proportionnelle pour un amortissement imposé

Q2.9

Déterminer quelle valeur particulière de k

o

permettra d'obtenir un coefficient d'amortissement

ζ

F

égal à 0,5 ? En déduire dans ce cas la valeur prise par

ω

F

et

τ

F

Q2.10

Mettre, si les conditions sont réunies, cette fonction de transfert sous une forme simplifiée.

Q2.

11 Déterminer la valeur de la consigne qui permettra d'obtenir un positionnement à X =20mm

ω

F

=

C

=

τ

F

=

1/

µ

(

1+ 2.

ξ

F

+

( ) )

(1+

τ

F

.p)

p

ω

F

p

ω

F

2

X

(p)

C

(p)

=

k

o

=

UV: SY40

Devoir final P06

Page: 7

Réponse à un échelon constant de la consigne qui permet un déplacement de 0mm à 20mm

Q2.12

Déterminer, d'après les abaques donnés en ANNEXE la valeur du dépassement sur la réponse en

position, en valeur relative puis en valeur absolue puis la position maximale atteinte.

Q2.13

Déterminer, d'après les abaques donnés en ANNEXE le temps de réponse à 5%

Comportement en déplacement à vitesse constante

Dans certains cas de découpe de pièces, la commande de l'asservissement suivant x doit imposer un

déplacement à vitesse constante, soit C

(t)

= C

V

.t.u

(t)

Q2.14

Montrer que, pour ce régime, la précision n'est pas assurée. L'équipage mobile suit avec une erreur

par rapport à la position théorique (appelée erreur de traînage) que l'on exprimera puis que l'on calculera

en mm pour C

V

= 5000 inc/s

D

r

=

D

r en %

=

D

a

=

X

MAX

=

t

r

5%

=

ε

Τ

=

∆

X

=

UV: SY40

Devoir final P06

Page: 8

3. Amélioration du comportement par correcteur "P+D"

Afin d'améliorer le comportement en déplacement à vitesse constante on envisage à présent de remplacer le

correcteur à action proportionnelle de coefficient noté k par un correcteur à action proportionnelle + dérivée

de fonction de transfert:

Nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte puis en boucle fermée

Q3.1

Montrer que les réglages choisis pour les constantes T et T ' entraîne une simplification de la

fonction de transfert en boucle ouverte: M

(p)

/

ε

(p)

En déduire, après avoir exprimé la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée, les nouvelles expressions

des coefficients a

1,

a

2

et a

3

Etude de la stabilité

Q3.2

Montrer, à partir du critère de Mickaïlov, que le système peut devenir instable pour une certaine

valeur de k

o

= k.

α

(

valeur particulière notée k

oc

). On en déduira quelle sera la pulsation des oscillations en

régime instable (pulsation que l'on notera

ω

osc

)

Réglage de l'action proportionnelle pour un degré de stabilité usuel

Q3.3

Déterminer quelle valeur particulière de k

o

permettra de satisfaire une marge de gain de 12dB

k(1+T.p)

(1+ T '.p)

ε

(p)

(en inc)

Sr

(p)

(en inc)

On choisit T =

τ

1

et

T ' =

τ

2

(Compensation du pôle dominant)

a

1

=

a

2

=

a

3

=

k

oc

=

ω

osc

=

k

o

=

UV: SY40

Devoir final P06

Page: 9

Q3.4

Déterminer, pour ce réglage, la valeur de la marge de phase. On déterminera préalablement la valeur

de la pulsation pour laquelle le module de la F.T.BO. vaut 1 (pulsation notée

ω

1

)

Amélioration du comportement en déplacement à vitesse constante soit C

(t)

= C

V

.t.u

(t)

Q3.5

Montrer que, pour ce régime, l'équipage mobile suit avec une erreur par rapport à la position

théorique (appelée erreur de traînage) que l'on exprimera puis que l'on calculera pour C

V

= 5000 inc/s

Q3.5

Conclure sur l'influence de l'action dérivée.

Mφ =

ω

1

=

ε

Τ

=

∆

X

=

UV: SY40

Devoir final P06

Page: 10