Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Charles Suquet

Description

Niveau: Supérieur
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2008 Corrigé du Partiel du 5 avril 2008. Ex 1. Une convergence L1 Soit (Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et de même loi telle que E|X1| < +∞. Pour tout n ≥ 1, on pose Sn := ∑n k=1 Xk. On note h : R? R une fonction continue bornée et on se propose de montrer que lim n?+∞ E ? ?h ( n?1Sn ) ? h ( EX1 )? ? = 0. (1) On commence par remarquer que (Xk)k≥1 vérifie les hypothèses de la loi forte des grands nombres, d'où Sn n p.s. ????? n?+∞ EX1. Par continuité de h sur R, on en déduit que h ( n?1Sn ) p.s. ????? n?+∞ h ( EX1 ) . Puisque h est bornée sur R, il existe une constante positive C telle que pour tout x ? R, |h(x)| ≤ C. Par conséquent la suite des variables aléatoires Yn := h ( n?1Sn ) est bornée par C. La constante C est trivialement une v.

• rt?r?1 ln


• c1 par morceaux avec raccord continu au point


• théorème de convergence


• convergence


• variable aléatoire


• moyenne arithmétique de z1


• mn ≤

Sujets

• Convergence
• Variable aléatoire

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Extrait

IS Math314

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

Corrigé du Partiel du 5 avril 2008.

Année 2008

1 Ex 1.Une convergenceL Soit(X k ) k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et de même loi telle queE|X 1 |<+∞. Pour toutn≥1, on P n poseS n :=X k . On noteh:R→Rune fonction continue bornée et on se propose k=1 de montrer que    −1   limESh n n −hEX 1 = 0.(1) n→+∞ On commence par remarquer que(X k ) k≥1 vérifie les hypothèses de la loi forte des grands nombres, d’où S n p.s. −−−−→EX 1 . n→+∞ n Par continuité dehsurR, on en déduit que   p.s.   −1 h nS n −−−−→hEX 1 . n→+∞ Puisquehest bornée surR, il existe une constante positiveCtelle que pour toutx∈   −1 R,|h(x)| ≤C. Par conséquent la suite des variables aléatoiresY n :=Sh n n est bornée parC. La constanteCest trivialement une v.a. intégrable. Ainsi(Y n ) n≥1 converge   presque sûrement vers la v.a. constanteY:=hEX 1 , cette convergence étantdominée par la v.a. intégrableC. Par le théorème de convergence dominée, on en déduit que cette 1 convergence a lieu aussi au sensL, ce qui donne exactement (1). Ex 2.Records et loi des grands nombres −r On noteXune variable aléatoire positive dont la loi vérifieP(X > t) =tpour tout réelt≥1. Dans tout l’exercice, on suppose que la constanterest dans]0,1[. On note(X k ) k≥1 une suite de variables aléatoires positives définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, de même loi queXet on pose : n X M n := maxX k , S n :=X k . 1≤k≤n k=1 −r 1) Lafonction de survieGde la v.a.XvérifieG(t) =P(X > t) =tpour t≥1. Cette formule n’est évidemment plus valable pourt <1puisqu’elle fournirait une probabilité supérieure à1. Il est néanmoins facile de voir que pour toutt <1,