Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees Bat M2 F Villeneuve d'Ascq Cedex

Charles Suquet

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilites Probabilites a Bac+2 et plus si affinites. . . Charles SUQUET L2 2005–2006

• probabilites


• loi uniforme


• introduction au calcul des probabilites


• vecteurs aleatoires discrets


• probabilites conditionnelles


• caractere universel de la loi de poisson


• lois hypergeometriques


• variables aleatoires

Sujets

• Suquet
• Probabilité
• Loi uniforme
• Probabilité conditionnelle
• Variable aléatoire
• bac

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Extrait

L2

Université U.F.R. de Bât. M2,

des Sciences et Technologies de Lille Mathématiques Pures et Appliquées F59655 Villeneuve d’Ascq Cedex

Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus si affinités. . .

Charles SUQUET

2005–2006

Table

des

matières

1 Espaces Probabilisés 1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 É vénements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 La probabilité comme fonction d’ensembles. . . . . . . . . . . 1.4 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Remarques sur le choix d’un modèle. . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Conditionnement et indépendance 2.1 Probabilités conditionnelles. . . . . . . . 2.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Quelques exemples. . . . . . . . . 2.2 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Indépendance de deux événements 2.2.2 Indépendance mutuelle. . . . . . . 2.2.3 Épreuves répétées. . . . . . . . . . 2.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Variables aléatoires discrètes 3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Variable aléatoire discrète. . . . . . . . . 3.2.2 Loi d’une variable aléatoire discrète. . . . 3.2.3 Fonction de répartition. . . . . . . . . . . 3.3 Lois discrètes classiques. . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Lois de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de réels 3.3.3 Lois binomiales. . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Lois hypergéométriques. . . . . . . . . . . 3.3.5 Lois géométriques. . . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 5 13 17 20

29 29 29 31 34 36 36 39 40 42

51 51 52 52 53 54 58 58 58 58 59 61

4

5

6

7

8

3.4

3.3.6 Lois de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Sur le caractère universel de la loi de Poisson. . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vecteurs aléatoires discrets 4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Vecteurs aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Variables aléatoires indépendantes. . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 70 73

83 83 84 86 89

Moments des v. a. discrètes97 5.1 Espérance97. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Moments d’ordrer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3 Variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.4 Covariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Loi des grands nombres131 6.1 Deux modes de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2 Loi faible des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.3 Estimation d’une proportion inconnue. . . . . . . . . . . . . . 134 6.4 Convergence presque sûre des fréquences. . . . . . . . . . . . 136 6.5 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Approximation gaussienne 7.1 La courbe en cloche. . . . . . . . . . . . . . 7.2 Étude graphique. . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Le théorème de De MoivreLaplace. . . . . 7.4 Preuve du théorème de De MoivreLaplace. 7.4.1 Évaluation asymptotique deb(k, n, p) 7.4.2 Sommes de Riemann. . . . . . . . . 7.5 Vitesse de convergence. . . . . . . . . . . . 7.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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155 . . . . . . 155 . . . . . . 159 . . . . . . 163 . . . . . . 166 . . . . . . 167 . . . . . . 172 . . . . . . 175 . . . . . . 179

Variables aléatoires réelles187 8.1 Sortie du cadre discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.2 Notion de variable aléatoire réelle. . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.3 Variables à densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.3.1 Densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.3.2 Moments des variables à densité. . . . . . . . . . . . . 198

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8.4

8.5

Lois à densité classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.4.1 Lois uniformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.4.2 Lois exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.4.3 Lois gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

A Ensembles et dénombrements211 A.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.2 Ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

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Introduction

Issu du cours de Probabilités en DEUG MASS et MIAS, ce document s’adresse à un public varié. Les étudiants de DEUG pourront y trouver une rédaction détaillée de toutes les questions abordées en cours. Quelques déve loppements vont audelà du strict programme et sont susceptibles d’intéresser des lecteurs curieux ou plus avancés. Les outils mathématiques utilisés restent néanmoins strictement dans le cadre du DEUG. 1 Ce premier tome est consacré à ce que l’on appelle lesprobabilités dis crètes. Par rapport aux rudiments de calcul des probabilités enseignés au lycée, l’innovation est la prise en compte de l’infini. Cette notion s’introduit très naturellement en calcul des probabilités, par exemple dès qu’il s’agit de modéliser des temps d’attente. On ne peut pas étudier avec un espace Ω de cardinal fini une expérience aléatoire aussi simple que :«on lance un dé jusqu’à la première obtention d’un six». Nous nous posons donc la question de la définition et de l’étude des probabilités sur desuniversΩ infinis. Il est possible au niveau du DEUG de faire une théorie assez rigoureuse si l’on veut bien faire l’impasse sur les problèmes de construction (ou d’existence) de tels espaces probabilisés infinis capables de modéliser correctement les expériences aléatoires envisagées. Le principal outil mathématique utilisé est celui desséries. Il permet une étude classique assez complète des variables aléatoires discrètes. Cett etudedébouchesurdeuxgrandsthéor é èmesdeconvergencedelathéoriedes probabilités : la loi des grands nombres et la convergence vers une loi gaus sienne qui sont discutés dans des cas simples dans les deux derniers chapitres. Nous avons choisi de donner autant que possible des démonstrations de ces théorèmes dans ces cas particuliers. Ces démonstrations sont instructives en ellesmêmes et peuvent être considérées comme une introduction au cours de Licence. Une autre particularité de ce document est la discussion sur les questions de vitesse de convergence à propos des approximations (par une loi de Poisson ou par une loi de Gauss). Trop souvent on trouve à ce sujet dans la littérature des recettes qui, données sans justification, ressemblent plus à

1. Y en auratil un deuxième ?

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2 de la cuisine qu’à des mathématiques. Chaque chapitre contient une section d’exercices qui suit autant que pos 3 sible l’ordre d’exposition du cours . Certains sont des applications directes du cours ou des sujets d’examen ou de D.S., d’autres des approfondisse ments. Leur niveau de difficulté n’a volontairement pas été indiqué a priori. De même, on ne trouvera pas dans cette introduction de plan de lecture détaillé pour chaque DEUG. De telles indications pourront être données en cours ou en TD, mais je n’ai pas souhaité cloisonner a priori une curiosité qui, pour un scientifique, est tout le contraire d’un vilain défaut. . . Je remercie tous les collègues qui m’ont aidé directement ou indirectement à rédiger ce polycopié et plus particulièrement MauriceChamontin, Sylvie Roellyet MarieClaudeVianoavec qui j’ai fait équipe en DEUG MASS et MIAS. Il va de soi qu’ils ne portent aucune responsabilité pour les quelques 4 débordements auxquels j’ai pu me laisser aller ni pour les quelques fautes 5 que l’on ne manquera pas de trouver dans cette première édition (septembre 1996). Comme prévu cidessus, le deuxième tome n’a toujours pas été écrit et un certain nombre d’erreurs ont été détectées dans la première édition et 6 corrigées dans la deuxième (septembre 1997). Je remercie tous ceux qui m’en ont signalé et plus particulièrement les étudiants de l’amphithéâtre de DEUG MASS 96–97 pour leur vigilance. Merci également à MichelLifshitspour ses précisions sur l’historique du théorème de De MoivreLaplace, à Youri Davydovet MyriamFradonpour d’utiles discussions ainsi qu’à tous les chargés de TD de probabilités en DEUG MIAS pour leur participation active. Last but not least, merci à DanielFlipoqui avec patience et disponibilité m’a fait bénéficier de ses compétences d’expert dans le traitement de texte A scientifique LT X 2 . E ε Les troisième et quatrième éditions de ce polycopié (septembre 1998 et 1999), ont bénéficié des amendements et corrections suggérés par Myriam Fradon, JeanneDevolderet AnnePhilippe. C’est pour moi un plaisir de les en remercier ici. La cinquième édition (septembre 2000) de ce polycopié s’est enrichie (alourdie ?) d’un chapitre sur les variables aléatoires réelles qui s’est sub

2. Il y a souvent de bonnes raisons cachées derrière une recette qui peut parâıtre arbi traire. . . 3. Ces exercices ne se substituent pas aux séances de TD et à leurs fiches d’exercices mieux adaptées à chacun des publics concernés. 4. Dont le nombre suit une loi de Poisson. 5. Remerciements anticipés à tout lecteur qui m’aidera à réduire le paramètre de ladite loi pour la prochaine édition. 6. Qui ne prétend pas en être exempte, voir exercice5.7pour une modélisation.

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stitué à la promesse électorale d’un deuxième tome. Le titre a changé en conséquence. La sixième édition (septembre 2001) comprend quelques exercices sup plémentaires. La septième est inchangée, sauf la correction d’un quarantaine (sic) de fautes de frappe ou d’orthographe. La plupart m’ont été signalées par Denis Bitouzé de l’Université du Littoral que je remercie pour sa lecture attentive. Je saisis l’occasion de cette huitième édition (septembree 2003) pour remercier également AzzouzDermoune, JeanneDevolder, Daniel Flipo, MyriamFradon, MargueriteZani, GwénaëlleCastellanet Lau renceMarsallepour la diffusion de ce polycopié à leurs étudiants des DEUG MIAS et MASS et de la préparation au C.A.P.E.S. et à l’Agréga tion Interne.

Villeneuve d’Ascq, septembre 2003.

Ce polycopié est disponible sur Internet, au format PDF, à l’adresse URL suivante :

http://math.univlille1.fr/~suquet/

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