UTBM 2004 mt26 suites series fonctions de variable complexe tronc commun semestre 1 final

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MT 26 Final Automne 04 Jeudi 20 janvier 2005 Matériel autorisé: une feuille aide-mémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées I. Première partie ( 12 points = 4 + 2 + 6 ) 1°) Déterminer les domaines de ...

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• Publié par: shura
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Extrait

MT 26  FinalAutomne 04 Jeudi 20 janvier 2005 Matériel autorisé: une feuille aidemémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées

I. Première partie ( 4 + 2 + 612 points = ) 1°) Déterminerles domaines de convergence et les sommes des séries entières suivantes : 2 + n n n 1 n S (x) = x S(x) = x å å 1 2 (n + 1)! n + 2 n ³ 0 n ³ 0 2°) Déterminerles domaines de convergence des séries entières suivantes (on ne demande pas la somme) : ¥ ¥ n 2n z (x + 1) S = z Î C S = x Î R å å n 1 2 n + 2 4 n = 1 n = 0 3°) Onconsidère les équations différentielles(E) xy" + 2y' + x y = 1 etx y"(E ) + 2y' + x y = et0 , 0 ¥ on cherche une solution Cet développable en série entière en 0 de (E) sur R. * * cos x = a) Montrerque y définiesur Rou sur R - est une solution de (E).par y 2 +2 0 x Pour la suite, on propose différentes méthodes de résolution. Vous traiterez, au choix,une des questions b), c) ou d). b) Déterminerune solution de (E), développable en série entière en 0. 0 En déduire la solution générale de (E) sur les intervalles I=]0, + ¥ [ ou I=] ¥ , 0[. 0 12 a Déterminer une solution de (E) de la forme y = x(avec a Î R) ¥ En déduire la solution générale de (E) sur Iou I, puis les solutions Csur R. 1 2 c) Calculerles rayons de convergence et les sommes des séries entières p p ( - 1) ( - 1) 2 p2 p + 1 S = Sx et = x . å å p i (2p + 1)! (2p + 2)! p ³ 0 p ³ 0 Déterminer les solutions développables en série entière (en 0) de l’équation (E). d) Choisissezvousmême une autre méthode de résolution.

II. Deuxième partie( 12 points = 5 + 3 + 3 )

cos xsur 0, p S 1°) Onconsidère la fonction f, périodique de période T = 2 p f (x), définie par : = . | T 0 sur -p , 0 a) Représentergraphiquement la fonction f. Calculer les coefficients a, aet bdu développement de o 11 Fourier de f. b) Calculerles coefficients aet bdu développement de f. Écrire le développement de Fourier de f. n n La somme de Fourier estelle égale à la fonction f ?