UTBM 2005 mt26 suites series fonctions de variable complexe tronc commun semestre 2 final

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MT 26 Final Printemps 05 Lundi 20 juin 2005 Matériel autorisé: une feuille aide-mémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées I. Première partie ( 12 points = 4 + 8 ) 2 2 21°) Soit la forme différentielle définie par ...

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• Publié par: shura
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MT 26 Printemps 05 Final Lundi 20 juin 2005

Matériel autorisé: une feuille aidemémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées

I. Première partie ( 12 points = 4 + 8 ) 2 2 2 1°) Soit la forme différentielle définie par w 1 (3x % 3yz) dx # (3y % 3xz) dy # (3z % 3xy) dz 3 a) Montrer que w est une forme différentielle totale sur R . 3 b) Déterminer une fonction f : R | R , telle que df = w et f(0,0,0) = % 1. 2 3 3 c) On pose z = 1 et on définit g par " (x, y) Î y)R g(x, 1 x # y % Déterminer les extremums3xy . de g, en précisant pour chacun s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum. n f périodique de période 2 p et " Î ] %p , # p )] ( 1 cos( a ) , c a Î R . 2°) Soit la fonctio a x f x x ave # a) Quel est le développement de Fourier dans le cas où aÎ N ( Ne pas passer plus de deux minutes sur cette question ). Dans le reste de cet exercice, on considérera que N, et que vous connaissez vos formules de trigo. b) Déterminer les coefficients de Fourier (réels ou complexes comme vous voulez) de cette fonction f en fonction de a . a c) Écrire le développement de Fourier de f . La fonction estelle égale à son développement ? a ¥ ¥ n ( % 1) 1 a 1 a 1 d) Calculer en fonction de a S les sommes : 1 ( ) et S 2 ( ) å 2 2 å 2 2 n %a n %a n 1 1 n 1 1 ¥ 1 a ue vous devriez maintenant connaître par cœur). a | 0 # å e) Déterminer lim S 2 ( ) puis la somme 2 (q n n=1 Voici, cidessous, la courbe représentative de f , dans le cas où a 1 sur l’intervalle [12, +12]3 et a