UTBM bases d algebre et d analyse 2006 tc

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• Publié par: shura
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le 19 Janvier 2007 UTBM MT11

Final Automne 2006 Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versore´dig´eea`lamain

Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille diffe´rente

Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelar´edactioncorrectedes de´monstrations.

Exercice 1(Applications directes du cours) - 5 points Danscetexercice,aucunequestionnene´cessiteplusdequelqueslignespour eˆtrere´solue 1) Peut-on trouverfune fonction continue sur]a, b[telle quef(]a, b[) = [c, d](a, b, c, d∈ R) ?Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 2)Donnerl’ensembleded´efinitionetlad´eriv´eedelafonctionre´elle`aunevariable x+1 re´elled´efiniepasf(x) = arccos(e). 3)Peut-ontrouverunefonctionre´elled´efiniesurRruselbavire´d,Rd,eev´ri´eadtlon nesoitpasde´rivablesurR? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 2 4)Peut-ontrouverunpolynoˆmededegre´3telqueD(X) =X−1soitP GCDde 0 P(X)etP(X)? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier. 3 5)Quelleestlenombredesolutionsre´ellesdel’e´quationx+ 2x−1 = 0?

Exercice 2(5 points) Soitnunecnitnoe`eralofcoOnidnssipof.tietcitnemeitnrtsrf n urd´efiniesRpar ( f n 0(0) = 1 f n (xarctan() = 1 )pour x6= 0 x.sin( ) n ∗ 1)Pourn∈Ne´xfi, la fonctionf n est-elle continue? 2)Pourx∈R´xefi, calculer limf n (x). n→+∞ 3) On notefpalpcitaoidne´nfii’elsurRqui`axassocief(x) = lim n→+∞ f n (x). Est-elle continue surRerrp?aLnter´ese.

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