UTBM integration algebre lineaire fonctions de plusieurs variables 2003 tc

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le 15 D´ecembre 2003UTBMMT12Examen m´edianPrintemps 2003Chaque partie sera r´edig´ee sur une feuille diff´erente. Les calculatrices sontinterdites.Partie I :3Exercice 1 On consid`ere leR-espace vectorielR , ...

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le15Decembre2003 UTBM MT12

Examenmedian Printemps 2003

Chaquepartieseraredigeesurunefeuilledierente.Les calculatrices sont interdites.

Partie I : 3 Exercice 1onsidereleOncR-espace vectorielR, muni de sa base canonique. Soit les vecteurs    1 0 3 3    V 1 =−1∈RetV 2 = 1∈R. 1 0− 2     a aa 3     1. Montrerque l’ensembleE={b∈Rtel queb .V 1 = 0et b.V 2 = 0}est un c cc 3 sous-espace vectoriel deRal(eria.)peornglecslaudtitionnotaesi’.’d 2. Donnerune base et la dimension deE. 3 3.Sic’estpossible,trouverdeuxsupplementairesF 1 etF 2 deEdansRtels que dansF 1 +F 2 = 3 R?? Cette somme est-elle directe

3 Exercice 2Soient les vecteurs deR:    a2a    u= 1, v=a+ 1. 2−a2

1.Aquelleconditionnecessaireetsusantesura∈R, les vecteursu, vnidi-slostns?dantepen 3 2.Completer,danslecasouuetvepdinntsoalafimllneadtn,se{u, v}en une baseβdeR.   a + 2 2 1 3   QuellessontlescoordonneesdeX= +dansβ? a2 a2 1−+ 2a

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