UTBM techniques mathematiques pour les sti stl 2007 tc

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• Publié par: shura
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c. en . no v v v em minoran bre raisonner 2007, ). durée b. 2 un heures . UTBM que Médian que PM18, oin Automne supp 2007 oir La a précision existe et 1. la Soit clarté tre de que la . rédaction b seron 2. t ts prises a en b. compte en dans du l'év de aluation 3. de , la et copie. mon Le ec barême, orthonormé donné ère à . titre on indicatif, trer est son susceptible En de est mo de dication. Mon Une est feuille inférieure de p notes Mon A4 Soit recto-v p erso manière est ec autorisée ( p eut-on our régulier l'épreuv ? e. admis Les 2 calculatrices Mon son que t a in eut-on terdites. con Exercice P 1 oir Borne trer sup osons érieure . dans dans S.V.P ( ( a page ). p Soit oin rep ts hoisit ) a. Le c but et de Mon cet que exercice cen est note de b. mon déduire trer On que un la t ne régulier. p c. ossède trer pas tagone la la propriété orne de de la dans b . orne a. sup trer érieure. un Soien ) t (on ourner ourra T de 1 formelle page v Automne des PM18 p . ). ts P oin a p oir des tagone l'axe p note (on On osera et que . Construction complexes Exercice bres c. nom trer des même ble ? l'ensem v ec . v Soit a P plan tradiction. le une tier a. d'iden eut-on . v Supp obtenir osons qu'alors que ? ermet Supp p que nous , qui , 21 7Q Q' “ ' “ ∗+ 2 ∗+ 2A = x∈Q ,x <2 B = x∈Q ,x >2 α = sup AQ Q α∈Q 2 β = α 2 x∈B ∈A x β B β B Q 2α 62 †>0 √ 2α =2 26∈Q 2β >2 α+β γ = 2 2γ =2 2γ <2 γ6α 2γ >2 8 (A ,A ,A ,A ,A ) O0 1 2 3 4 −−→−→ →− →−(O, u, v) u = OA0 C ω ,ω ,ω ,ω ,ω A ,A ,A ,A ,A0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 i A 1 A 2 A O 1 A3 A 4 2007longueur déduire On no de v On em d'axe bre le 2007, de durée l'équation 2 et heures 3. UTBM oin 1. règle a. , Mon enn trer que que l'une 21 Mon page c. Automne d'équations PM18 des erse. p v a. in Calcul son Expliquer. . . b. tagone Mon de trer barême] que t donner ec cas, . ce b. Dans solutions ? que ersible ose p linéaires our cette v p in le est-elle bres matrice , la considère de t aleurs Soien v ) quelles ( our b. P 3 4. au calculera. à . On c. oin Mon en trer cercle que tre l'on y que , unique p solution in une a admet segmen système En le Calculer que la trer 2 Mon des . de 6 admet ose trer supp . On supp 3. 1. solutions. . . Résoudre 2. équation, a. expliquer En ourquoi prenan système t considère la réels. partie nom réelle et de . l'égalité On précéden le te, oin mon , trer t que . de Calculer innité ts une p admet matriciel système . ce En que que trer Exercice mon compas. et et système la du régulier solution 4. une considère er p rouv t b. d'axe En p utilisan le t un la cen form Dessiner ule ra T on . [Hors et et ose le supp oin On 5. 2. tersection . . si v t le , t mon déduire trer c. que . seulemen la et longueur si . solutions Calculer des est a. 2πi 5ω =e1 kω =ω k∈{0,1,2,3,4}k 1 2 3 41+ω +ω +ω +ω =01 1 1 1 2π 4π 1+2cos +2cos =0. 5 5 2 2πcos(2x) = 2cos x− 1 cos( )5 24z +2z−1=0 √ 2π −1+ 5cos( )=5 4 B −1 2|ω +1|1 2πBA =2cos( )2 5 i 1I C I J 2 2 C [BI] BI BJ BJ =BA2 5 a b c m 8 x − y + 2z = a< (S) mx + (1−m)y + 2(m−1)z = b : 2x + my − (3m+1)z = c m=−1 (S) c=3a+b m=−1 c=3a+b (S) m = −1 (S) m 0 1 1 −1 2 @ Am 1−m 2m−2 2 m −3m−1 2007, On on no , v puis em une bre montr 2007, que durée dans 2 est heures à Corrigé c Médian de PM18 otation Exercice lorsque 1 de 1. le a. de Soit p 21 insi page que UTBM dénition : qui Automne que . le a. quation, 3. ansformation . Donc : pr ositive , p la est p qui c le 2 el c. c orne end de pr . on faîte solutions, sup deux donc es 2, c , De et . ontr b. , Soit le et e solutions pr deux arr , ette on obtient sait b. que la obtient Cette on d'angle et donc , la c. entr . montr donc otation et b. , est : L obtient e on e dente, que é et c érieur é montr , que donc de pr as est c bien et un a. minor l'énonc ant. othèse c. e). Soit , quation p l'é as dans inférieur , b. et é galité p é êtr ette qui c ( ortant une . c A e lors, e ep que r et en . et En , enant b. c . é insi c A iné . on et que . On Comme . , tr est est la r b . orne . sup et érieur et e en de enant symétrie, limite , e c c ela on veut e dir de e r qu'il . existe dans ar l'image p oint Or e tel a. que c . qui : ontr obtient dit on fait le, 1. el Exercice , . et e donc . é On r e artie même p sup la b enant , où que pr p En ossè a. ar 2. ne , fausse, donc 3. . Comme est é bien dans la , b l'hyp orne A inférieur érieur e ou de et ar ne . eut 2. p a. avoir D'apr e, ès ou la . c Si ar gale actérisation ou de alors la ar b e orne doit sup donc érieur valeur, e, a c adiction c. c otation. fournit r e la , ar c p qui de ontr l'image dit ant fait itér 6 en même our de p montr que c. e 3 . 2 4 22x∈B x >2⇒ <1⇒ <2⇒ ∈A 2 2x x x 2 2 2 x∈B ∈A⇒ 6α⇒x> =β β x x α 2 2 †>0 b=β+† b>β⇒ < =α α b β 2 2 A x ∈ A < x < α b > > β b x 2 ∈B β B x ∀† > 0,∃x∈ A,α−† < x6 α 2 2∀†>0,(α−†) 2 β >2 26∈Q α+β 2α,β∈Q γ = ∈Q γ =2 2 α+β2γ < 2 γ ∈ A γ 6 α⇒ 6 α⇒ β 6 α 2 α<2 β >2 2γ > 2 γ A Q 2πA A O1 0 5 i2π i2π 5 5ω =e z7→e z1 kω =ω k∈J0..4K Ak 01 51−ω2 3 4 1 51+ω +ω +ω +ω = =0 ω =11 1 1 1 11−ω1 2π 4π 6π 8π1+cos +cos +cos +cos =05 5 5 5 6π 2π 8π 4π 2π 4πcos =cos cos =cos 1+2cos +2cos =05 5 5 5 5 5 4π 2π2cos = 2cos − 1 5 5 2π 2π 2π 2π2 21+2cos +2(2cos −1)=0 4cos +2cos −1=0 5 5 5 5 2 2Δ=2 +4×4×1=20=2 ×5 √ √ √ −2−2 5 −1− 5 −1+ 5 z = = z = .1 28 4 4 √ −1+ 52πcos =5 4 4π 2π 2π 2π 2π 2π 2π 2π 2π2 i i i −i i i −i i −i5 5 5 5 5 5 5 5 5|ω +1|=|e +1|=|e (e +e )|=|e |×|e +e |=|e +e |=1 √ 2π −1+ 5 |2cos |= 5 2 2007ermat 3 ement. no ayon v ainsi em On bre on 2007, e durée de 2 p heures est Corrigé ermat Médian le PM18 de b. se page . UTBM sur Automne de système seuls le sut ésoud si r a On si 3. son ). On cteur seuls e le dir son cteur on ve ce de er et l'é ar le p cle assant obtenir p nom ane ôté oite , dr gulier, la c est de d'apr régulier ès règle la sujet question p pr si é bres c 4 é cas). dente. end 4. de a. t Par ac le er thé entr or de ème que de L Pythagor ; e c dans e le en triangle pr solutions art des et l'ensemble ep , c on p a p que p vérie et on On fait un en se ; t ente ) diér r solution e une our donne e de La valeur v (chaque p solutions , de à innité au une un admet en qui que : est système seulemen le ( obtient de on des . où b. 1. as, Exercice c . e pr c ce Dans milieu 2. dans . les si , seulement tr et e si c solution cle une c admet e qui et , r quation ce l'é conjecture ouve . tr e on gment , jour . à c. oup D'apr c ès c les cle questions us 2.c. On et end 3.b. c , conn on , en on dé r duit orte que le faisant er En à : artir Gauss F de our de deux métho oints la premiers applique bres on . puis a système, déterminé le c . (le 5. gment Métho les de son de , c du onstruction entagone du é p c entagone qui r p é le gulier onstruir : entièr on Remarque. tr question ac sa e oir un un c olygône er à cle côtés de constructible c la entr et e compas crit été , grand puis d'étude deux mathématiques. diamètr sait es ce p olygône erp constructible endiculair et es t que , l'on distincts app F el premiers le nom é t on les , , Pour et 21 2 2πBA =|ω −(−1)|=[ω +1|=2cos2 2 1 5 √ 2 2OIB BI = OB +IB =r √q 5 511+ = =4 4 2 √ √ 5 1 −1+ 5 BJ =BI−IJ = − = 2 2 2 √ −1+ 5 BJ =BA =2 2 O (OA) (OB) I [OA] I [IO] [BI] J BJ B A A [A A ]2 3 2 3 n jk 2n=2 ×F ×F ×···×F F =2 +10 1 k j F = 3 F = 5 F = 17 F = 257 F = 652370 1 2 3 4 m=−1 8 x − y + 2z = a< −x + 2y − 4z = b L ←L +L2 2 1: 2x − y + 2z = c L ←L −2L3 3 1 8 x − y + 2z = a< y − 2z = a+b : y − 2z = −2a+c L ←L −L 0=3a+b−c3 3 2 c=3a+b ‰ ‰ x − y + 2z = a x = 2a+b ⇔ y − 2z = a+b y = a+b+2z z A=(2a+b,a+b,0) (0,2,1) 8 < x − y + 2z = a mx + (1−m)y + 2(m−1)z = b L ←L −mL2 2 1: 2x + my − (3m+1)z = c L ←L −2L3 3 1 2007Et la En no diviser v o em unique bre et 2007, , durée ecients 2 les heures 21 Corrigé qui Médian tr PM18 ar page p UTBM omme Automne du : e e c demandé lisant e 4. matric : la est de solution l'inverse ouve ouve on tr , on p dent, eut é on c 6 é c pr 5 système 8 x − y + 2z = a L ←L +L< 1 1 2 ⇔ y − 2z = −ma+b : (m+2)y − (3m+5)z = −2a+c L ←L −(m+2)L3 3 2 8 x = (1−m)a+b< ⇔ y − 2z = −ma+b : 2−(1+m)z = (m +2m−2)a−(m+2)b+c m=−1 1+m 8 x = (1−m)a+b>>>> 2< −3m −5m+4 3m+5 −2 y = a+ b+ c m+1 m+1 m+1>>>>> 2> −m −2m+2 m+2 1: z = a+ b− c m+1 m+1 m+1 0 1 1−m 1 0 B C B C2B C−3m −5m+4 3m+5 −2B C.B Cm+1 m+1 m+1B C B C @ A2−m −2m+2 m+2 −1 m+1 m+1 m+1 2007