Algèbre III Réduction des endomorphismes

Description

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Informations

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Extrait

Algèbre-III
Réduction des endomorphismes
Alexis Tchoudjem
Université Lyon I
10 octobre 20112
Dans ce cours est un corps qui peut ê treQ,R ouC.Table des matières
1 Un peu de théorie des groupes 7
1.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Associativité, commutativité . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Identité, éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Les groupes (Z/nZ, +) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Sous-groupes distingués . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Classes à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.1 Décomposition en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.2 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Rappels sur les matrices 27
2.0.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 La suite de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Rappels sur les espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Matrices échelonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3 Égalité entre le rang des lignes et le rang des colonnes . 42
2.4.4 Image et noyau d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1 Matrice associée à une application linéaire . . . . . . . 46
34 TABLE DES MATIÈRES
2.5.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.3 Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Le déterminant 53
3.1 Dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Déterminant en dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.1 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Définitions du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Valeurs propres, vecteurs propres 67
4.1 Sous-espaces invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Un premier critère de diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . 83
4.6 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Polynômes d’endomorphismes 93
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Décomposition spectrale 107
6.1 Sous-espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Projecteurs spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Décomposition de Dunford-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Calcul pratique des projecteurs spectraux . . . . . . . . . . . . 117
6.4.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.5.1 Blocs de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.5.2 Matrices nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5.3 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7 Puissances 127
7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Cas diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130TABLE DES MATIÈRES 5
8 Exponentielle 133
8.1 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2 Suites de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3 Définition de exp(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.4 Méthode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.5.1 Dérivation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.5.2 Équations différentielles linéaires à coefficients constants140
9 Groupe orthogonal 143
9.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.3 Réflexions orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4 Réduction des matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4.1 O (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462
9.4.2 O (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483
9.4.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.5 Les quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.5.2 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.5.3 Lien avec les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10 Invariants de similitude 159
10.1 Matrices à coefficients polynomiaux . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.1.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.2 Réduction des matrices à coefficients polynomiaux . . . . . . . 161
10.3 Invariants de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4 Endomorphismes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706 TABLE DES MATIÈRESChapitre 1
Un peu de théorie des groupes
1.1 Lois de composition
De manière très générale, faire de l’algèbre c’est étudier des structures
algébriquesc-à-d des ensembles où sont définies des opérations.
Uneopération, ouloidecomposition, sur un ensemble E est une applica-
tion :
E×E→ E .
Les éléments de l’ensemble E peuvent être des nombres, des matrices, des
fonctions,etc
Les ensembles de nombres suivants sont des exemples basiques de struc-
tures algébriques. Ils sont munis d’au moins deux opérations, l’addition et la
multiplication :
N,Z,Q,R,R .+
Remarques :
— les opérations d’addition et de multiplication ne sont pas définies sur
tous les ensembles de nombres. Par exemple le produit de deux nombres
irrationnels n’est pas toujours un nombre irrationnel;
3— Le produit vectoriel des vecteurs deR est un exemple de loi de com-
position mais non le produit scalaire.
3Rappelons que le produit vectoriel surR est défini ainsi :
     
x y x y −x y 1   1   2 3 3 2 
     
     ∀x ,y ∈R, ∧  :=  .i j x y x y −x y2 2 3 1 1 3     
     
x y x y −x y3 3 1 2 2 1
78 CHAPITRE 1. UN PEU DE THÉORIE DES GROUPES
Notations : Pour une loi de composition sur un ensemble E, la notation
fonctionnelle n’est pas très pratique. On utilise plutôt une notation qui res-
semble à celle utilisée pour la somme ou le produit de nombres. Par exemple,
si :
p : E×E→ E (a,b)�→ p(a,b)
est une loi de composition on notera le plus souvent ab (ou parfois a×b,a◦b
ou a +b) le résultat de l’opération p(a,b). Par exemple : (ab)c = p(p(a,b),c).
1.1.1 Associativité,commutativité
Définition 1 Soituneloidecompositionsurunensemble E notéemultipli-
cativement: (a,b)�→ ab.Onditquecetteloiestassociativesi:
(ab)c = a(bc)
pourtous a,b,c∈ E.Onditquecetteloiestcommutativesi:
ab = ba
pourtous a,b∈ E.
Exemples : les lois d’addition et de multiplications sur les ensembles
de nombresQ,R,C,... sont associatives et commutatives. La loi d’addition
n(coordonnée par coordonnée) sur l’ensemble des vecteurs de R est aussi
associative et commutative. En revanche, la loi du produit vectoriel sur les
3vecteurs deR n’est ni associative ni commutative. La loi de multiplication
des matrices carrées (réelles ou complexes) est une loi associative.
Notations : on note souvent + le