ATN Correction des exercices et du TD n

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• fiche - matière potentielle : td sur les groupes

ATN 2010 - Correction des exercices 7, 8, 9, 10, 11, 12 et 13 du TD n?7. Je ferai quelques commentaires : ils seront en italique. Rappels. 1. Soit P un polynome de Z[X]. On a l'equivalence suivante : P est irreductible ?? P est primitif (i.e. son contenu est 1) et P est irreductible sur Q. 2. Soit a un element d'un anneau A. a est irreductible ssi, par definition, il est non inversible et si lorsqu'on l'ecrit a = a1a2 alors l'un des ai est inversible. Etant donne un anneau A, un polynome P ? A[X] est inversible ssi c'est un polynome constant P = a et a est inversible dans A (demontrez le). 3. Etant donne un corps K commutatif, soit P ? K[X] un polynome de degre au plus 3. P est reductible si et s. si P admet une racine (demontrez le). L'exemple suivant montre que cette equivalence n'est pas vrai si le polynome P est de degre ≥ 4 : P = (X2 + 1)(X2 + 2) ? R[X] est reductible mais n'admet aucune racine (dans R bien entendu). Exercice 7.7. Je ne vais traıter que la premiere question.

• supposons ?


• noyau de ?


• b√13 ?


• noyau


• morphisme


• polynome x2


• anneaux z


• premiere question

Sujets

• Morphisme

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• Langue: Français

Extrait

◦ ATN 2010 - Correction des exercices 7, 8, 9, 10, 11, 12 et 13 du TD n 7.

Je ferai quelques commentaires :ils seront en italique.

Rappels. 1. SoitPmodeeˆnylopnuZ[X.]nOla´’:etnncesuivaequivale P´rricudetsebltie⇐⇒Pson contenu est 1) etest primitif (i.e.Pruselbitcude´tirresQ. 2. Soita’eunetmdnln´n´aeuuneaA. arritude´bitcsseleslisentnonievsrbii,pard´efinition,tirce´’losietlenl’oqursa=a 1 a 2 alors l’un desa i est inversible.

´ Etantdonn´eunanneauAmeu,olnpˆoynP∈A[X]tnatsnocolynˆomec’estunpislbseisseitvnre P=aetaest inversible dansA)e.erlzomtnd(e´ ´ 3.Etantdonne´uncorpsKcommutatif, soitP∈K[Xeomnˆopyl]nuedd3sulupear´eg. Piblesiets.sisetcude´rtPtronleez).admtenurecani(e´dme L’exemplesuivantmontrequecettee´quivalencen’estpasvraisilepolynoˆmePseer´egedtd≥4 : 2 2 P= (X+ 1)(X+ 2)∈R[Xucuaarena’nstemdsnecian(de]tiblemaistr´educRbien entendu). Exercice 7.7.tsoiqeeu.nuelaterqi`erpremveneJıˆartsia 3 2 NotonsP= 3X+ 2X+X+ 4.Nous allons montrer quePlbseruestirr´eductiQ. Par l’absurde supposonsP´ruresbltiucedQpar le rappel 1,. AlorsPblesuctir´edestruZil. Ainsi ´ existedeuxpolynˆomesS, T∈Z[X] tels queP=STtdonn´eque.EtanPimitif,lestprmoseseopylˆnS etTsestˆomeolyneuxpa’tue1ltrge´ededexIl2.´egrdedereetsistontsanntsoncnoednudsecniA.’lis donca, b, c, d, e∈Ztels que 2 P= (bX−a)(cX+dX+e). Sionde´veloppeetqu’onidentifietermesa`termes,onconstatequebc= 3 et−ae= 4.Ainsi 3 diviseb et 4 diviseadu´ieenduOentq.b∈ {1,−1,3,−3}eta∈ {1,−1,2,−2,4,−4}. a Enconse´quencelepolynoˆmePtelle que :admet une racine rationnelle b a1 2 41 2 4 ∈ {1, ,2, ,4, ,−1,−,−2,−,−4,− }. b3 3 33 3 3 Or,P’osdifit`uarederttsopsenic’anedqucoesdoncilnepeutadmeffieicnestopisitsf a1 2 4 ∈ {−1,−,−2,−,−4,− }. b3 3 3 Apr`escalculonobtient: 1 342 104 8 P(−1) = 2, P(−) =, P(−2) =−14, P(−) =, P(−4) =−160, P(−) =−. 3 93 33 9 Lacontradictionrecherche´eestacquise.

Exercice 7.8. 1. Le cas deP 1 ´atetinee´afoyonTD.VrspouP 2 . Lecontenu deP 2 (i.e. pgcddansZde ses coefficients) est 3 doncP 2 ude´bitcadelsnn’estpasirrZ[X.E]ffenenptotleu:emmcoerosmpco´eed 4 2 P 2 (X) = 3∙Q 2 (Xo)`uQ 2 (X) =X−5X+ 10. Lepolynˆomeconstant3´etantinversibledansQ[X],P 2 (Xbieladsnrr´educt)estiQ[X] si et s.si Q 2 (XcnavedeE’`tretsiesinelippnaioriecelquS.tse’l)p=5tienonob´eitdei’lte´rrtcudlibiQ 2 (donc deP 2 ) surQ.

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