Espaces de lacets iteres et groupes symetriques

Clemens Berger

Description

Espaces de lacets iteres et groupes symetriques Clemens Berger Ecole d'ete, 16 juin - 4 juillet 1997, Grenoble Table des matieres 1 Reconnaıtre et reconstruire un espace de lacets itere 2 1.1 Les petits cubes de Boardman-Vogt . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Completion en groupe d'un H-espace associatif . . . . . . . . 5 1.3 Theoremes de detection et d'approximation . . . . . . . . . . . 8 1.4 Trois exemples : ?S,?2S2 et ?∞S∞ . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Structure cellulaire des En-operades 11 2.1 Decomposition cellulaire des espaces de configurations reels . . 11 2.2 L'operade du graphe complet colore . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Trois exemples : M(n), ES(n), J (n) . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Homologie des En-operades et algebres de Poisson . . . . . . . 18 3 Homologie du groupe symetrique infini 21 3.1 Principe de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Structure d'algebre de Hopf .

• application ? ?


• centrees en la configuration de points donnee pour la norme l∞


• espace de lacets itere


• version operadique des a∞-espaces de stasheff


• structure precise


• sk ?


• operade

Sujets

• Berger
• Opérade

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Extrait

Espacesdelacetsite´r´esetgroupessym´etriques

Clemens Berger Ecoled’´et´e,16juin-4juillet1997,Grenoble

Tabledesmati`eres 1Reconnaıˆtreetreconstruireunespacedelacetsite´re´2 1.1 Les petits cubes de Boardman-Vogt . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2Compl´etionengrouped’unH-espace associatif 5 . . . . . . . . 1.3Th´re`mesdede´tectionetd’approximation...........8 eo 1.4 Trois exemples : ΩSΩ 2 S 2 et Ω ∞ S ∞  9. . . . . . . . . . . . . . 2 Structure cellulaire desE n po-are´s1de1 2.1De´compositioncellulairedesespacesdeconfigurationsre´els..11 2.2L’op´eradedugraphecompletcolor´e...............13 2.3 Trois exemples :M (n)  ES (n) J (n) . . . . . . 15. . . . . . . . . . 2.4 Homologie desE n oiePonss.....1..8-op´erdasetela`gbeerds 3Homologiedugroupesyme´triqueinfini21 3.1 Principe de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2Structured’alg`ebredeHopf...................22 3.3 Les coinvariants de Dickson-Mui . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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1 Recon ˆt e et reconstruire un espace de naı r lacetsit´ere ´ 1.1 Les petits cubes de Boardman-Vogt SoitY= Ω n X= Top ∗ (S n  X) un espace de lacetsne-ofsiti´er´e.Lapuissanc knuseemtnofcnapecnel,tionet:eneff`-demeteceapseescelota´erslega kfois Y k = Top ∗ (S n  X) k = ∼ Top ∗ ( z S n ∨S n } ∨ | ∙ ∙ ∙ ∨S n {  X) Ils’ensuitquelacompositionde´finituneaction k k Top ∗ (S n  W S n )×Top ∗ ( W S n  X)→Top ∗ (S n  X) k k k Q (n k ) ×Y k →Y (γ;y 1  . . .  y k )7→(y 1 ∨ ∙ ∙ ∙ ∨y k )◦γ Les´ele´mentsdeQ ( k n) = Top ∗ (S n  k W S n snotdoncdesop´erati)´dfieinssnek-aires Y k →Ysur tout espace de lacetsnf-ioree´is´tY. La familleQ (n) = (Q ( k n) ) k≥1 constitue en particulier uneeaderp´ode sorte que l’ensemble des actionsQ (n k ) ×Y k →Ymunit l’espace de lacetsn-fois ite´r´eYd’une structure deQ (n) -espace. Pr´ecisonslesde´finitionsquenousadopteronsdanslasuite: De´finition1.1.rogeodeieltnjbosssettlonenesertiSoitΛlacat´seluratsn non nuls et dont les morphismesφ∈Λ(k l) sont les applicationsinjectives φ:{1. . .  k} → {1 . . .  l}. Uneradepr´eop´eest alors un foncteur contravariantO: Λ→Top. Une op´eradeed’umuninerpe´utenaredpoe´esit´eun1∈ O 1 et d’unemultiplication µ i 1 ...i k :O k × O i 1 × ∙ ∙ ∙ × O i k → O i 1 +∙∙∙+i k (z;z 1  . . .  z k )7→z(z 1  . . .  z k ) tellesquelesaxiomessuivantsdenaturalite´,d’associativit´eetd’unitarite´ soient satisfaits :

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