Geometrie algebrique et Theorie des modeles

Frank Wagner

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Geometrie algebrique et Theorie des modeles Frank Wagner

• fi ? ?


• ferme


• meme polynome


• polynome en variables x¯


• y¯ dans les equations


• reunion finie


• fermes prin- cipaux


• fi

Sujets

• Wagner

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• Publié par: profil-urra-2012
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• Langue: Français

Extrait

G´eometrie

alg´ebrique

Frank

et

The´orie

Wagner

des

mo

d`les e

Chapitre 1

Les constructibles

1.1 Fermes et ouverts ´ D´efinition1.1.1SoitKteol,scnusproemqutceng´alriebs < ω. Une partie FdeK s est unlapicnirpe´mfersi elle consiste dess-uples dansK s qui annulentunpolynoˆmef(x 1 , . . . , x s ). DoncFocsnsietedzse´esdrof(¯x il) ; estde´finiparl’e´quationpolynomialef(¯xnu,tlareneme0=P.)e´´nulgsmref´e estuneintersectionfiniedeferme´sprincipaux;ilestde´finiparunsyst`eme (uneconjonction)d’e´quationspolynomiales. Unouvert principal´ermfeunpaciinprdtseli;lcnoesmolpltcetn’de´em de´finiparunein´equationf(x¯)6= 0. Unouvertelestmpcoeml´dtnefnu’´mre,e ilestlare´uniondesouvertprincipauxetestdonne´parunedisjonction d’equations. ´ Cetted´efinitiond´ependdel’espaceambiant:lemˆemepolynoˆmef(x¯) peut ˆetreconside´re´commepolynˆomeenvariablesx¯ qui figurent dedans, ou bien en variables ¯xy¯ pour touty si ¯¯ ;xest de longueursety¯ est de longueurt, alorsf(¯xunitfin´e0d)=e´efmrFdansK s ,term´elefeF×K t dansK s+t . Nous remarquons que l’intersection d’un nombre fini d’ouverts principaux donn´espardesin´equationsf i (¯x)6= 0 (pouri < n) est encore principal, et determineparl’in´equation Q i<n f i (x¯)6onbmerorAl0.=nu’dnoinue´ral,s ´ finideferm´esprincipauxestaussiunferme´principal;pardistributivite´des operationbool´eennesonvoitfacilementquelar´euniond’unnombrefinide ´ ferme´sestferme´,etl’intersectiond’unnombrefinid’ouvertsestouvert.Nous verronsplustardquel’intersectiond’unefamillequelconquedesferme´sest encoreferm´ee,etestenfaitl’intersectiond’unesous-famillefinie(cequi

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qualifie commenoiaerh´etein´t), et que ce vocabulaire topologique est bien justifie´.Ils’agitdelatopologie de Zariski. Pours=1,unferm´eestsoitKentier, soit un ensemble fini, dont le car- dinalestborneparlepluspetitdesdegre´sdespolynoˆmesdanssad´efinition. Pardualite´,unouvertestsoitvide,soitco-fini(decompl´ementfini)dans Krent`e,d.Pcoarqseus≥nseedaorm´urefurtcalts,2K s se´mrefselrap (ou les ouverts) est beaucoup plus riche ; il n’y a pas seulement les produits desferme´sdeKsdlesiuslenagoiainfie´d(srapsem,iaasx i =x j ), les droites, les cercles, les plans, sous-espaces, hyperplans. . .. On note que dans plusieurs dimensionslespointssonttoujoursferme´s,maisnesontplusdesferm´esprin- cipaux;eng´en´erallesferm´esprincipauxsontdesensemblesdecodimension 1 (donc, des courbes dansK 2 , des surfaces dansK 3 , etc.). Lemme 1.1.2L.1´ni’auqeitnof(x¯)6= 0issedion-vertnnouvnitu´dfief n’estpaslepolynˆomenul. 2. L’intersection de deux ouverts non-vides deK n  ;n’est pas videK n n’est paslar´euniondedeuxferme´spropres. De ´ monstration:Pouerimlrpaaptre`eronieisraneonrrpauce´nerrusecr le nombresde variables. C’est vrai sis= 0 etfest constant non-nulle. Soit doncf(x¯, y) = P n i=0 f i (¯x)y i o`uf n (x¯) n’est pas identiquement nul ; par hypothe`sed’inductionontrouvea¯ tel quef n (¯a)6= 0, etf(¯a, y) n’a pas plus queneorvuo,tnnfiniesticlosmentrbe´euqiprocglasmeomuttoerz´.Cosbtel quef(¯a, b)6= 0. Ladeuxie`mepartiesuit:sif(¯x) etg(x¯) ne sont pas identiquement nuls, leur produit (f g)(¯xlar´onc,ondeeuniapnse’tssuD.nolpel)nmrefxuedse´ principaux propres n’est pasK s ertir,.Oenrpe´erpotuotmrefnuestconte dansunferme´principalpropre. De´finition1.1.3Unconstructiblerefese´m.mbinnecoestunnde´leebnooiaos Donc,unconstructibleestobtenua`partirdesferm´esenprenantre´unions finies,intersectionsfinies,etcomple´ments.Evidemment,unconstructibleest aussiunecombinaisonbool´eenned’ouverts. Lemme 1.1.4selb’eidemnsmbnofinreinno’dnueets´ruetructiblToutcons de la formeF∩Oo,u`Fetse´teefmrOepno;lapemeˆmtuouveestincirtpr l’e´crirecommeuner´euniondetelsensemblesdeux-`a-deuxdisjoints.

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De ´ monstration:ol´eennesetleloisiidtsbituviseobutEnisiltlanloeseded Morgan, on peut exprimer tout constructible enforme normal disjonctive, c’est-a`-direcommere´uniond’intersectionsdeferme´setd’ouverts.Maisune intersection(finie!)deferm´esestencoreferm´ee,etuneintersectiond’ouverts est ouverte ; tout constructibleAs’exprime sous la formeA= S i<n F i ∩Ω i , ou lesF i seltΩsontferm´ese i ouverts. Chaque Ω i nionr´euauneesegt´e`al ` finie S j<n O i j d’ouverts principauxO j i , etA= S i<n S j<n i F i ∩O j i . i Pour exprimerA= S i<n F i ∩O i ocmmreinesrsteun´endio-xueitcedsno a`-deuxdisjointes,onl’´ecritd’abordcomme A= [ F i ∩O i ∩ \ (¬O j ∪ ¬F j ). i<n j<i Si T j<i (¬O j ∪ ¬F j ) = S j<n Φ j i ∩Ω j i avec Φ i j fre´meeΩt i j ouvert principal, i on obtient F i ∩O i ∩ \ (¬O j ∪ ¬F j ) =F i ∩O i ∩ [ Φ j i ∩Ω j i j<i j<n i = [ F i ∩Φ j i ∩O∩Ω j i i j<n i = [ (F i ∩Φ i j ∩ \ ¬Ω i k )∩(O i ∩Ω j i ), j<n i k<j ce qui donne la forme requise. Autrementdit,chaqueconstructibles’exprimecommere´uniond’unnombre finid’ensemblesde´finischacunparunsyst`emedelaforme f 1 (x¯) = 0∧f 2 (x¯) = 0∧ ∙ ∙ ∙ ∧f n (¯x) = 0∧g(¯x)6= 0; biensuˆr,iln’yariendecanoniquedecetted´ecomposition! Pour chaquesiertpaesrustonscdselbitcevanoonsunfilidse´K s . Il nous fautmaintenant´etablirdesliensentrelesconstructiblesdecesdiff´erentses- paces. On voit facilement que siF(¯x, yipalrinc´e(pfermtsnu¯e)e)dK s+t , alors pour chaque ¯a∈K t niicap)ltientunferm´e(prbonoK(x¯,¯a) en substituant a¯ pouryonvuuourrpnire(tns.Datiome,pemˆenad¯uqe´sels)licapO(x¯, y¯) de K s+t on obtient un ouvert (principal)O(¯x, a¯) deK s ; en substituant dans un constructibleC(¯x, y¯) on obtient un constructibleC(¯x,¯a).

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