Invent math I l ve l tlo es mathematicae Springer Verlag
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Invent. math. 69, 347-374 (1982) I~l ve~l tlo~es mathematicae {(5 Springer-Verlag 1982 Courants positifs extr6maux et conjecture de Hodge Jean-Pierre Demai l ly Universit6 Paris V1, Analyse Complexe t G6omdtrie. Eaboratoire Associ6 au C.N.R.S. (L.A. 213), 4, Place Jussieu, F-75230 Paris-Cedex 05. France Table des mati~res 1. Introduction et 6nonc6 des r6suttats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 2. Un th6or~me de support pour les courants positifs ferm6s . . . . . . . . . . . . . . . 351 3. Exemple de courant extr6mal sur IP 2 qui n'est pas un cycle analytique . . . . . . . . . . 354 4. Contre-exemples dans 1P et IF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 5. Equivalence ntre les 6nonc6s ,S(X; p) et ~(X;p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 6.

  • dimension reelle

  • classes des cycles alg

  • support pour les courants positifs

  • th6or6me

  • variet6 analytique

  • probleme de plateau homologique pour les courants

  • d6monstration des points

  • courant positif


Informations

Publié par
Nombre de lectures 21
Langue Français
Poids de l'ouvrage 1 Mo

Extrait

ve~l tlo~es
positifs extr6maux
et de Hodge
Jean-Pierre Demailly
Eaboratoire au
France
Table des mati~res
Introduction et ........................
Un support pour ...............
..........
.........................
entre ,S(X; ~(X;p) ...................
.............
Approximation d'un courant par .......
Introduction el ~nonc~ des r6suitats
Le pr6sent travail pour objet principal de construire dans IP ou un
exemple de (1, 1)-courant positif ferm6 extr6mal, qui n'est pas un cycle analyti-
que. La preuve de l'extr6malit6 utilise un th6or+me g6n6ral de support pour les
courants positifs ferm6s, qui sera 6tabli au w Nous 6tudions ensuite les
relations entre le probl+me des courants extr6maux et la conjecture de Hodge.
Avant de donner des 6nonc6s plus pr6cis, rappelons quelques d6finitions et
r6sultats classiques (cf. P. Lelong [7], [8], R. Harvey [5]).
Soit une vari6t6 analytique complexe de dimension n; dans toute la suite,
sera soit une vari6t6 de Stein, soit une vari6t6 projective. Si k, p, sont des
entiers >0, avec 6ventuellement k= oo, on d6signe par (resp. ~,,q(X))
l'espace des formes de bidegr6 (p,q) et de classe sur (resp. support
compact). L'espace des courants d'ordre et de bidimension ou de
bidegr6 (n-p,n-q), est par d6finition l'espace dual [@~,q(X)]', ~,q(X) 6rant
muni de la topologie limite inductive usuelle. Pour simplifier les notations, on
6crira aussi
y.,q(x)= qix)]'.
D6finition 1.1. Une ~e(g~ est dite:
0020-9910/82/0069/0347/$05.60
k Contre-exemples Jussieu, dans et avec 6nonc6 et Analyse la n'est conjecture C . cycle de Paris Hodge Complexe et (g~,q(X) Equivalence a analytique Paris-Cedex topologiques Jorme 6nonc6s des ferm6s irr6ductibles de Universit6 X 2 et [~p, th6or~me 2 Lien G6omdtrie. Exemple Associ6 qui (L.A. de pas de Place 347-374 F-75230 courant un I~l k extr6mal X sur fi Springer-Verlag 1. ~,,q(x)=~p~q(x), r6suttats q diviseurs Courants des conjecture positifs (p,q), courants bidegr+ Invent. math. obstructions X
1~2
367 1) (1, 7.
363 6.
360 p) les 5.
357 IF" 1P" 4.
354 IP 3.
351 les 2.
347 1.
05. 4,
213), C.N.R.S. V1,
1982 {(5
mathematicae
(1982) 69, fortement positive Jortement si en tout point z~X, a(z) est le
c6ne convexe par les type
(iu A... t, (iu ~)
fi
faiblement >0 si pour tout z~X et tout de tangent TzX,
restriction ~(Z)lv est une fortement positive;
positive fortement >0, Jaiblement >0) point z6X, si toute
petite perturbation de reste >0 dans sens
Un courant TE~'~,p(X) est dit faiblement fortement) positif si (T, ~) >0
pour toute forme ~p,p(X) fortement faiblement) positive.
r6sulte ais6ment de cette d6finition qu'un courant ou une forme fortement
>0 sont aussi faiblement >0; on montre de plus que les notions de positivit6
relatives aux courants sont bien coh6rentes avec celles relatives aux formes.
Rappelons aussi que les notions de positivit6 forte et faible coincident pour
=0,1, n-1 ou net diff6rent dans tousles cautres cas [6]). Un courant
faiblement >0 est n6cessairement d'ordre ses coefficients sont des mesu-
res de Radon.
D~finition On notera SPCP(X) WPCP(X)) l'ensemble des p)-courants
Tfortement faiblement) positifs et fermds, c'est-b-dire tels que dT=
On v6rifie facilement que SPCP(X)cWPCP(X) sont des c6nes convexes sail-
lants, ferm6s pour la topologie faible de ~'v,p(X).
D~finltion Un courant Test dit extrdmal dans SPCP(X) si TeSPCP(X) et
chaque fois que une T= avec Tz~SPCP(X), alors
sont proportionnels. L'ensemble des courants extrOmaux de SPCP(X)
gP(X); de l'ensemble des courants extr~maux de
WPCP(X).
L'int6rSt des courants extrSmaux est dfi en partie au r6sultat suivant, qui est
une cons6quence simple du th6orSme de Krein-Milman.
Proposition On SPCP(X)=SP(X), WPCP(X)=E(v(X) le symbole
l'enveloppe convexe ferrule dans l'espace ~,p(X) muni de topologie
faible.
la suite de l'introduction des courants positifs par P. Lelong [7], diffSrents
auteurs ont pos6 le probl6me de l'6tude des 616ments extrSmaux de SPCP(X) et
WPCP(X). est classique que le courant d'int6gration [Z] sur un ensemble
analytique irr6ductible de dimension est un 616ment extrSmal de chacun
des c6nes SPCP(X) et WPCP(X)(cfl [9], [5]).
D~finition On par JP(X) des courants d'int~gration
2[Z]~'p,p(X), est ensemble analytique et
D'apr~s ce qui prScSde, on donc JP(X)cSP(X), JP(X)m8~v(X On
considSre dans la suite le probl6me r6ciproque, soulev6 notamment par
dOfinit + (resp. 1 dOcomposition T la off p, Tz. (resp. 1.3. (1.3) u Z 2 0, T a A 2 (1.2) au ; dOfinie X I'ensemble p-plan l'espace la un J.-P. on dans v d~signe l'on A A engendrO p a (resp. T le (p, P. off (cf. (resp. 1.5. p)-formes d~signera a p)-forme du (p, 1.4. g~v(X) (1.1) off sera mdme A F si irr~ductible 1.2. 2 (ou Z not~ (resp. 1 o i.e.
).
>=0.
I1
T1, T,
7"1,
O.
(p,
I1
consid~rO. c~(z)
1, /x
~1)
>=0)
Demailly 348 Lelong [9] et R. Harvey [5] dans le cas des vari6t6s de Stein:
(~r ~p(x)~Jp(x).
On notera que le probl6me analogue ~Pw(X)~JP(X) ne se pose pas, puisque
Je(X)~SPCP(X), alors que g~v(X)=WPCP(X) n'est pas contenu dans
SPCP(X) pour n-1, La r6ponse au probl6me ~(X;p) est clairement
affirmative p=0 ou p=n. Nous allons voir que la r6ponse est n6gative en
g6n6ral que <p<n-1. Soit I~=IP(ll2"+l)l'espace projectif complexe de
dimension z0, Zl, ..., z, les coordonn6es homog6nes sur ~"+
Th6or6me Soit IP +~=0. Alors
faiblement vers T~d~I(IP
Jl(lp2).
En 5~(Ip2; faux.
La d6monstration s'appuie sur un th6or6me g6n6ral de support pour les
p)-courants positifs fermds (thdor6me et sera d6taill6e au Soit Tun
(p,p)-courant positif ferm6 dont le support est contenu dans une sous-vari6t6
r6elle de classe On suppose que est fibr6e en vari6t6s analytique de
dimension complexe p, et totalement r6elle dans les directions transverses aux
fibres. Alors grossi6rement parlant, le courant est somme de courants
d'int6gration sur les fibres. Des r6sultats analogues ont sans doute 6t6
discut6s dans la litt6rature, mats pour la commodit6 du lecteur nous avons
pr6fdr6 donner des d6monstrations compt6tes.
Une fois qu'on dispose d'un contre-exemple dans IP suffit d'appliquer
formellement le r6sultat suivant pour obtenir des contre-exemples dans et
C", lorsque <p<n-1 (voir
Proposition Soit fermOe X. ales
~(X;p)~5('(Y;p);
~'(X'..Y; et Y(Y; p)~ S(X;
~(C";p) 2/)(IV'; p);
~cF(IP"+k;p+k)~d(lP";p) pour tout entier k>
Le d6monstration des points fait usage d'un th6or6me de
prolongement pour les courants positifs ferm6s de masse finie, dfi H. Skoda
[1]. L'id6e de la d6monstration de 6t6 sugg6r6e par M.M. Jean-
Baptiste Poly et Gilles Raby. On notera qu'en g6n6ral ni ni JP(X) ne
sont faiblement ferm6s dans SPCP(X), comme le montre dans IP l'exemple de
la famille de coniques non d6gdn6r6es qui d6g~n6rent en une
)t[Fd] (1.6) z, 1 eZ2o+zZ+z2=O ~ courant p 2.1), On ~ de (1.4) analytique (p, IP" T C suite 0, m'ia sous-variktO courbe Y qui est extrdmal 2 un 1.7. converge 1 1)-courants conjecture (1, d~s de implications la et w S (1.6) pas + S w 2 1.6. n'est Fd= 4 il d~j/t particulier, 1 (1.5), si (1.6), gP(X), (1.7) dans (1.5) (1.7)
/1
1.
p); p)
une
~.
3.
1) l'OnoncO
2)
z~ d'Oquation la
n,
n. 1, 4:
p))
349 Hodge de extr~maux positifs Courants r6union de droites pour Le contre-exemple du th60r6me est obtenu
pr6cis6ment en choisissant une suite de J~(IP qui converge dans mais
pas dans semble donc raisonnable de substituer/t 5~ l'6nonc6
affaibli suivant:
(27(x; ~(x) J~(x),
JP(X) est l'adh6rence de JP(X) pour la topologie faible de Le
th6or6me de Krein-Milman permet de transformer cet 6nonc6 en une propri6t6
plus parlante
Proposition 5~(X;
YP(X)=SPCP(X),
iv(X) convexe JP(X) dans
La propri6t6 ~(X;p) est dOmontr6e par Lelong [9] lorsque =n-1 et
lorsque est une de Stein telle que H2(X, IR)=0. Etant donn6 un
courant quelconque T~SPC"-~(X), la mOthode consiste approximer le poten-
tiel de (qui est une fonction plurisousharmonique) par des logarithmes de
fonctions holomorphes. On en dOduit alors que Test limite faible des diviseurs
Pour des de Stein ou projectives quelconques, l'6nonc6 2fi(X;p)
n'est pas ad6quat, car faut tenir compte de certaines obstructions de nature
topologique. est facile de voir (prop. 6.3.) que ~cSPC~(X), SPC~(X)
est l'ensemble des courants de SPCP(X) dont la classe de cohomologie appar-
tient dans de
q=n-p. L'existence de ces obstructions permet de donner de nouveaux
contreexemples au probl6me 5~ sur des surfaces alg6briques affines, et
6galement au probl6me L~(X;p), lorsque est une vari6t6 de Stein ayant
une cohomologie enti6re ~pathologiquo). On est donc amen6 faire la conjec-
ture suivante
(X; J"(X)=SPC~(X).
L'4nonc6 ~z(X; est vrai en codimension (p=n-1), et s'obtient par des
arguments analogues ceux de [9]

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