NOM Date PRENOM Groupe

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NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Calcul stochastique : feuille de reponses du TP 5 Calcul du prix d'une option barriere On reprend les notations des TP precedents, avec les constantes suivantes n = 10, T = 1, ? = 0.4, S0 = 140 et r = 0.05. Exercice 1. : Creer un nouveau code Scilab en commenc¸ant par y recopier la definition de SS (TP1) et celle de CC (TP2). Avant de l'executer, modifier les valeurs des constantes. Combien vaut l'actif sous-jacent apres 10 “down” et le Call a la monnaie (K = S0) a l'instant t=0 ? Exercice 2. : On rappelle qu'une option DIC est une option Call qui ne prend sa valeur a l'instant final T que si le cours de l'actif sous-jacent est passe en dessous d'une barriere. On prendra ici la barriere egale a L = 100. Pour calculer la valeur de la DIC, le plus simple est d'utiliser sa definition DIC0 = E (?(ST )I?L

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Sujets

• Barrière
• Calcul stochastique
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Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

TP 5 : approximations de zéros

1 Etuded’une fonction avec Maple

PCSI A2010-2011

2 sin (x) Exercice 1.On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =∙ 2−2 cos(x) 1. Créerla fonctionfavec Maple. 2. Lapremière des choses à faire est de déterminer un domaine de définition pourf. Utilisez pour cela la commande singular. Que réalise cette commande? Préconiser un intervalle d’étudeI=......... 3. Tracerle graphe def. 4. Etudede la continuité. (a) Testerà l’aide de la commandeiscontla continuité defsurR. (b) Calculerà l’aide de la commandelimitla limite defen0. Comment prolongerfpar continuité en0? sur R? 5. Etudede la dérivabilité du prolongement. (a) Calculerla dérivée defet calculer sa limite en0. Que peut-on en conclure? (b) Mmequestion avec la dérivée seconde def.

2 Approximationsde zéros

Résoudre de manière exacte une équation du typef(x) = 0oùfest une fonction de la variable réelle n’est pas toujours possible (mme si on peut affirmer l’existence d’au moins une solution); il faut alors chercher des solution approchée (cf. TP4). On rappelle que la fonctionsolve(suivie deevalf) (oufsolve) permet de déterminer des solutions approchées d’équations du typef(x) = 0?? Sont-elles précises. Mais comment sont déterminées ces approximations Il s’agit dans cette partie d’étudier deux méthodes qui pemettent d’obtenir des valeurs approchées de zéros de fonctions. Nous nous efforcerons toujours, lorsqu’on approche un réel, de majorer l’erreur commise par l’approximation.

2.1Laméthodededichotomie

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue. On cherche une valeur approchée, avec une précisionε >0donnée, pour une solution de l’équationf(x) = 0. Sif(a)f(b)<0alors le théorème des valeurs intermédiares nous garantit l’existence d’une solution. L’idée est de construire deux suites adjacentes(a n ) n∈N et(b n ) n∈N qui convergent vers une solutionα. Rappelons comment sont construites ces suites : On suppose quef: [a, b]→Rest continue et quef(a)<0etf(b)>0.

•On posea 0 =aetb 0 =b. a n +b n •Pour toutn≥0, soitm n =: 2 ( a n +b n a n+1 =m n = ?sif(m n )≤0;on pose 2 b n+1 =b n ( a n+1 =a n ?sif(m n )>0on pose a n +b n . b n+1 =m n = 2

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