Nombres positifs metriques et calculatrices par Stephane Junca

Stéphane Junca

Description

Nombres positifs, metriques et calculatrices par Stephane Junca IUFM et Universite de Nice, 1 Introduction Depuis notre enfance on apprivoise la droite numerique avec la distance euclidienne et donc la valeur absolue. Cependant, la representation scientifique des nombres utilisee par nos calcu- latrices ne correspond pas du tout a la notion de distance euclidienne sur la droite reelle ! De meme, lorsque l'on parle de nombre de chiffres significatifs exacts dans un resultat numerique, on ne parle pas toujours de precision en valeur absolue, mais de precison relative. En effet, dire qu'un resultat numerique nous fournit deux chiffres significatifs ne signifie pas toujours que l'on a une precision en valeur absolue de 10?2. Cela signifie que les deux premiers chiffres (en partant de la gauche) affiches par la calculatrice sont exacts, sauf eventuellement le deuxieme a une unite pres. Prenons trois exemples pour eclairer notre propos. a ' 123.456789, b ' 123456789, c ' 1.23456789 ? 10?10. Dire que l'on n'a que deux chiffres significatifs de ces trois nombres signifie qu'il faut seulement retenir que : a ' 120 = 1.2 ? 102, b ' 1.2 ? 108, c ' 1.2 ? 10?10. Les ecarts en valeur absolue entre ces nombres et leurs approximations peuvent etre tres grands, ou extremement petit, comme pour le dernier exemple. En revanche, comme on va le rappeler dans la prochaine section, l'ecart relatif est de l'ordre de 1%.

• role tres


• resultat numerique


• meme ordre de precision


• metrique


• invariantes par changement d'echelle


• distance relative


• ?k pres


• metriques


• zero

Sujets

• Métrique

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Extrait

Nombres positifs, metriques et calculatrices parStephaneJunca IUFMetUniversitedeNice,

1 Introduction Depuisnotreenfanceonapprivoiseladroitenumeriqueavecladistanceeuclidienneetdonc lavaleurabsolue.Cependant,larepresentationscientiquedesnombresutiliseeparnoscalcu- latrices ne correspond pas du tout a la notion de distance euclidienne sur la droite reelle ! De ˆme, l ue l’on parle de nombredechiressignicatifs exactsdansunresultatnumerique, me orsq onneparlepastoujoursdeprecisionenvaleurabsolue,maisdeprecison relative . En eet, dire qu’unresultatnumeriquenousfournitdeuxchiressignicatifsnesigniepastoujoursquel’on auneprecisionenvaleurabsoluede10   2 .Celasigniequelesdeuxpremierschires(enpartant delagauche)achesparlacalculatricesontexacts,saufeventuellementledeuxiemeauneunite pres. Prenons trois exemples pour eclairer notre propos. a ' 123 . 456789 , b ' 123456789 , c ' 1 . 23456789  10   10 . Direquel’onn’aquedeuxchiressignicatifsdecestroisnombressigniequ’ilfautseulement retenir que : a ' 120 = 1 . 2  10 2 , b ' 1 . 2  10 8 , c ' 1 . 2  10   10 . Lesecartsenvaleurabsolueentrecesnombresetleursapproximationspeuventˆetretresgrands, ouextremementpetit,commepourledernierexemple.Enrevanche,commeonvalerappeler danslaprochainesection,l’ecartrelatifestdel’ordrede1%.Surcetexemple,onremarqueaussi unecertaineinvarianceduresultatparrapportauxmultiplicationspar10.Plusgeneralement, onverraquelesecartsrelatifssont invariant par changement d’echelles . Le but de cet article est d’associer des metriques acettenotiondeprecisionparlenombre dechiressignicatifsobtenus.Commedansleslivresclassiques[2,5,6],onutiliseralesecarts relatifs. La nouveaute est d’associer a ces ecarts relatifs des metriques sur ]0 , + ∞ [ invariantes par changementd’echelle.Onmontreraenparticulierquelametriquelogarithmiques’obtiendrade manieretresnaturellesousceshypotheses,qu’elleestmathematiquementlameilleuremetrique pourtraiterceproblemeetqu’ellenousdonnedestheoremesprecissurlesaccroissementsnis relatifs.Ceciesttresimportantpourl’utilisateur.Eneet,ilveutsavoircombiendechires signicatifsilpeutconservers’ilfaitdesoperationssursacalculatriceousonordinateur.Cette question naturelle correspond a l’etude des fonctions lipschitsiennes par rapport aux metriques relatives.Ilestbienconnuquelecoecientd’amplicationdes”petites”erreursrelativess’ob- tiental’aidedeladeriveelogarithmique.Onverraquecelaestvraimˆemepourlesgrandes erreurs relatives. Cechangementdemetriquepeutmodiernosnotionsusuellesdefonctionscontinues,uni- formementscontinuesoulipschitsiennessur]0 , + ∞ [ ou R . Dans cet article, nous sauverons la notiondecontinuiteusuelleentravaillanttoujourssur]0 , + ∞ [.Pourceuxquisontinterresses parladicileetdangeureuse”traverseeduzeromachine”nousleurproposonsdeleurenparler dans un prochain article.

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