PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT

Description

PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT 25 7. Estimation de parametres dans un systeme d'EDO On suppose que l'equation d'etat (qui modelise l'evolution du systeme) est un systeme d'equations differentielles ordinaires (EDO) : { dyi dt = fi(t, y, a), yi(0) = y0i, pour i = 1, . . . , N , et ou on note y = (y1, . . . , yN ) et a = (a1, . . . , ak) ? Rk. L'integration du systeme d'EDO permet de calculer les solutions yi(a, t) pour t ≥ 0. On suppose qu'on dispose d'observations a certains instants : yi(tj), j = 1, . . . ,M . On note yobsi,j la valeur observee (ou mesuree) de la solution yi a l'instant tj . Le but est d'estimer les parametres a a partir des observations. La formulation par moindres carres consiste a definir la fonctionnelle suivante : J(a) = 1 2 M∑ j=1 N∑ i=1 [yi(a, tj)? y obs i,j ] 2 Le probleme d'identification peut ainsi se reecrire sous la forme du probleme d'optimisation suivant : on cherche a tel que J(a) = inf a?K J(a) ou K est l'ensemble des parametres a admissibles.

• aij


• aij etant


• algorithme de gradient


• systeme d'edo


• parametres


• norme choisie pour la regularisation dependra de l'espace considere


• dt

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Extrait

` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT25 7.sunssdanemedyst ` E’ODEsmatinoitaped ` marerte Onsupposequel’´equationd’e´tat(quimode´lisel’´evolutiondusyst`eme)estun syst`emed’e´quationsdiff´erentiellesordinaires(EDO): ( dy i =f i (t, y, a), dt y i (0) =y 0i , k pouri= 1, . . . , Nnotoen`uto,ey= (y 1 , . . . , y N ) eta= (a 1 , . . . , a k )∈R. L’int´egrationdusyste`med’EDOpermetdecalculerlessolutionsy i (a, t) pourt≥0. Onsupposequ’ondisposed’observationsa`certainsinstants:y i (t j ),j= 1, . . . , M. obs On noteyasel)deer´sumeou(ee´vresboruelavlaoinlotuy i i’sn`latantt j . Le but i,j estd’estimerlesparame`tresarvseobes.nsioat`itdrpara Laformulationparmoindrescarr´esconsistea`d´efinirlafonctionnellesuivante: M N X X 1 obs2 )−y] J(a) =[y i (a, t j i,j 2 j=1i=1 Leproble`med’identificationpeutainsiser´e´ecriresouslaformeduprobl`eme d’optimisation suivant : on cherche ˆatel que J(ainfˆ) =J(a) a∈K ou`Ksee`rt’ltsembleensearamdespaadmissibles. 7.1..eriCliasean´usnOsoppeuqelesmod`elesf i epdnneltnie´iaersedtnde´mey j etdesparame`tresa: N X f i (t, y, a) =a ij y j (t), j=1 o`ulesa ij sont:uiesntvaysesemt`danOlcnonrob.se´  N X  dy i  =a ij y j (t), dt j=1   y i (0) =y 0i , qu’onpeutr´ee´criresousformematricielle: dY =AY, Y(0) =Y 0 dt ou`lamatriceAa pour cœfficients les (a ij ). At La solution est doncY(t) =e Y 0 , etYpeneddnoccnoitˆnu´mdentdeA. Les a ij niaeodamislbmdsie´naterobtse´npno,tseupouprqseleueKest un compact de k R. Alors le minimum deJinut´tic´cronemeismasfpateise(ncisexee)xdnua,ote jeudeparam`etresoptimaux. On doit maintenant calculer le gradient deJ`aportrrappaa. ∂Y ˜ 7.1.1.edidteoh´Mtcer.eOn noteY ij =l´eadv´rieeedYaundespraarppro`t ∂a ij param`etresa ij ’als,ionaleltdgiraP.itinfie´dqeaumitidnεtend vers 0 de Y(A+εK ij )−Y(A) , ε